Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dadas las matrices:
A = 1 a a
1 a 1
a − 1 a 2


x
X= y
z

0
O = 0
0

se pide:
a) (1 punto) Determinar el valor o valores de a para los cuales no existe la matriz inversa A^−1
.
b) (1 punto) Para a = −2, hallar la matriz inversa A^−1
.
c) (1 punto) Para a = 1, calcular todas las soluciones del sistema lineal AX = O.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Gracias de antemano

Answer 1

Estas son las respuestas al ejercicio 2 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II:

Dadas las matrices:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&a&a\\1&a&1\\a-1&a&2\end{array}\right]$

$X = \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right]$

$O = \left[\begin{array}{c}0&0&0\\\end{array}\right]$

a) Para calcular cuales son los valores de $a$ para que la matriz A NO sea invertible, usamos el determinante:

det(A) = $-a( a^{2} - 3a + 2 ) = 0$

$a = 0$   ó     $a = 1$ y $a = 2$

Si $a = 0$  ó  $a = 1$ ó $a = 2$    det(A) = 0 ⇒ A no es invertible.

Si $a$≠0  y $a$≠1 y $a$≠2    det(A) ≠ 0 ⇒ A es invertible

b) Calculamos la matriz inversa para el caso a = -2, usando el método de Gaus - Jordan

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&-2&2\\1&-2&1\\-3&-2&2\end{array}\right]$

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{-1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{-1}{4} \\ \frac{x}{y} \frac{-5}{24} & \frac{-1}{6}& \frac{-1}{8}\\ \frac{-1}{3}& \frac{1}{3}&0\end{array}\right]$

c) Para el caso a = 1 calculamos la solución para el sistema lineal AX = 0. 

$A.X = \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\0&1&2\end{array}\right] . \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right] = \left \{ {{x+y+z=0} \atop {y + 2z=0}}$