Question

Resolver le PVI 2y" + y' − 3y = 0, y(0) = a, y' (0) = b

Resolver le PVI y" + 2y' + y = χ², y(0) = 1, y' (0) = 2

Answer 1

Se encuentra la solución para los dos problemas de valore iniciales: obtenemos que las soluciones son respectivamente:

$y = (0.4*a + 1.4*b)*e^{x} + 0.4*(a-b)*e^{-1.5x}$

$y' = -3*e^{-x} + 9*(e^{-x} - e^{-x}*x) + 2x - 4$

Primer problema de valores iniciales:

2y" + y' − 3y = 0, y(0) = a, y' (0) = b

Tenemos una ecuación diferencial lineal: con coefientes constante, por lo tanto suponemos solucones de la forma:

$e^{\lambda*x}$

Para esto encontramos las raíces del polinomio caracteristico: que seran los posibles valores de lamnda

2λ² + λ - 3

λ = -1.5 ; λ = 1

La familia de soluciones independientes es:

$e^{x} , e^{-1.5x}$

Por principio de superposición la solución es la combinación lineal:

$y = C1*e^{x} + C2*e^{-1.5x}$

$y' = C1*e^{x} - 1.5*C2*e^{-1.5x}$

Usando las condiciones iniciales:

y(0) = a ⇒ c1 + c2 = a

y'(0) = b ⇒ c1 -1.5*c2 = b

Resto las dos ecuaciones formadas

2.5*c2 = a - b

c2 = (a - b)/2.5 = 0.4*(a - b)

Sustituyo en la primera ecuación:

c1 + 0.4*(a - b) = b

c1 = 0.4*a + b + 0.4*b = 0.4*a + 1.4*b

La solución particular es:

$y = (0.4*a + 1.4*b)*e^{x} + 0.4*(a-b)*e^{-1.5x}$

Segundo problema de valores iniciales:

y" + 2y' + y = χ², y(0) = 1, y' (0) = 2

Tenemos una ecuación diferencial lineal no homogena: con coefientes constante, solucionamos primero el problema homogeneo, por lo tanto suponemos soluciones de la forma:

$e^{\lambda*x}$

Para esto encontramos las raíces del polinomio caracteristico: que seran los posibles valores de lamnda

λ² + 2λ  + 1 = 0

(λ + 1)*(λ + 1) = 0

λ = -1

Tenemos una ecuación con raiz -1 y multiplicidad 2: la solución del problema de valor inicial homogeneo es:

$y = C1*e^{-x} + C2*xe^{-x}$

Luego vemos la solución del problema no homogeneo:

yp" + 2yp' + yp = χ²

Usando la ecuación de coeficientes indeterminados:

yp = Ax² + Bx + C

Por lo que:

yp' = 2Ax + B

yp'' = 2A

Reemplazamos en el problema que teniamos:

2A + 4Ax + 2B + Ax² + Bx + C = χ²

Ax² = x² ⇒ A = 1

(4Ax + Bx) = 0*x ⇒ 4A + B = 0 ⇒ 4*1 + B = 0 ⇒ B = - 4

2A + C = 0 ⇒ 2*1 + C = 0 ⇒ C = -2

Entonces la solución particular es:

yp = x² -4x - 2

La solución final, es la suma de la particular más la homogenea:

$y = C1*e^{-x} + C2*xe^{-x} + x^{2} -4x - 2$

$y' = -C1*e^{-x} + C2*(e^{-x} - e^{-x}*x) + 2x - 4$

Resolvemos las condiciones iniciales:

y(0) = 1 ⇒ C1 - 2 = 1 ⇒ C1 = 1 + 2 ⇒ C1 = 3

y' (0) = 2 ⇒ $-3 + C2*(1) - 4 = 2$

C2 = 2 + 4 + 3 = 9

Entonces la solución final es:

$y' = -3*e^{-x} + 9*(e^{-x} - e^{-x}*x) + 2x - 4$