Question

Ejercicio 4.- Considera el punto P(1, 0, −1) y la recta r dada por

x + y = 0
z − 1 = 0

a) [1’5 puntos] Halla la distancia de P a r.

b) [1 punto] Determina la ecuaci ́on general del plano que pasa por P y contiene a r.


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Para calcular la distancia de P a r Debemos calcular el plano perpendicular a r que además pasa por el punto P

$x-y +D =0$⇒ $1.1-1.0 + D = -1$ ⇒ $x-y-1 = 0$

 

ahora el punto donde corta la recta con el plano es: 

$1.t-1.(-t)-1 = 0$ ⇒ $t = 1/2$

$H = (t,-t,1) = (1/2, -1/2, 1)$ es el punto de corte.

La distancia la calcularemos a través del módulo del vector PM = (-1/2,-1/2,2)

$|PM| = \sqrt{(- \frac{1}{2} )^2+(- \frac{1}{2} )^2+(2)^2} = \sqrt{ \frac{9}{2} } =2'12u$

 

b)       La ecuación paramétrica de la recta es

X = t

Y = -t

Z = 1

 

Podemos deducir que la recta pasa el punto B= (0,0,1) con un vector dirección v = (1,-1,0)

El plano que pasa por P y contiene a r esta dado por el punto B, el vector v y el vector BP = (1,0,-2), obteniendo la siguiente ecuación 

$\left[\begin{array}{ccc}x&1&1\\y&-1&0\\z-1&0&-2\end{array}\right] = 0$ ⇒ $2x+2y+z -1 = 0$