Question

Ejercicio 4 . Calificaciòn màxima: 2 puntos.
Dados los planos
π1 ≡ 2x + z − 1 = 0 , π2 ≡ x + z + 2 = 0 , π3 ≡ x + 3y + 2z − 3 = 0 ,
se pide:

a) (1 punto) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π1 y π2.

b) (1 punto) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano π3.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Por favor

Answer 1

Para resolver el ejercicio 4 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II: 

Nos dan como datos los planos:

π₁:    2x + z - 1 = 0

π₂:    x + z + 2  = 0

π₃:    x + 3y + 3z - 3 = 0

a) Procedemos a calcular cuales son las ecuaciones paramétricas de la recta entre π₁ y π₂: 

r : $\left \{ {{2x+z -1=0} \atop {x+z+2=0}} \right.$

Despejando,

r : $\left \{ {{x=3} \atop {y= \alpha \atop {z= -5 }} \right.$

b) Para calcular el seno del ángulo que la recta anterior forma con el plano π₃, vemos primero cuales son los vectores directores de:

$u_{ \pi _{3} = (1,3,2)$

$u_{r} = (0,1,0)$        (plano y=0)

 cos(90°-α) =$\frac{ u_{ \pi _{3}}. u_{r}}{u_{ |\pi _{3}}|.| u_{r}|} = \frac{3}{ \sqrt{14}} = sen \alpha$