Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. Dada la matriz: A = (−1 −1 a −3 2 a 0 a −1) , se pide: a) (1 punto) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. b) (1 punto) Calcular la matriz inversa A−1 de A, en el caso a = 2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

a) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa.

 

Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0.

 

              (-1   -1   a)

Det(A) = (-3   2    a) = (-1)(-2 - a^2) – (-1)(3) + (a)(-3a) ≠ 0

               (0    a   -1)

 

2 + a^2 + 3 – 3a ≠ 0

 

a^2 – 3a + 5 ≠ 0

 

a1 ≠ √10/2

 

a2 ≠ -√10/2

 

Los valores de a para que la matriz tenga inversa son todos los reales menos √10/2 y -√10/2.

 

b) Calcular la matriz inversa A−1 de A, en el caso a = 2.

 

Para a = 2 se tiene que A es:

 

       (-1   -1   2)

A =  (-3   2    2)

       (0    2   -1)

 

Se calcula el Det(A) para verificar que tenga matriz inversa:

 

              (-1   -1   2)

Det(A) = (-3   2    2) = (-1)(-2 - 4) – (-1)(3) + (2)(-3*2) = -3

               (0    2   -1)

 

Como Det(A) ≠ 0, si existe inversa de la matriz A.

 

Ahora la ecuación de A^-1 es:

 

A^-1 = (adj A)^t / Det(A)

 

                 (-6  3  -6)

(adj A)^t = (-3  1  -4)

                  (-6  2  -5)

 

           (2    -1      2)

A^-1 = (1  -1/3  4/3)

            (2  -2/3  5/3)

 

PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II