Question

Distribución Normal
Un alumno tiene buenas notas en la materia de estadística con un promedio de 18.2, suponiendo que la desviación estándar es de 4.1 y que las notas siguen una distribución normal.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio mayor a 19?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio menor a
14?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio entre
15.5 y 18.5?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio entre 12 y 17?

Answer 1

La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de este grupo tenga una nota de estadística mayor de 19 puntos es de 0.8049.

Explicación:

La nota de estadística de un grupo de estudiantes tiene distribución normal con:

media  =  μ  =  18.2  puntos       y    desviación estándar  =  σ  =  4.1  puntos

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x  =  nota, en puntos, de los alumnos de la materia estadística

Su estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:

$\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}$

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}$

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio mayor a 19?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea mayor que  19.  Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$\bold{P(x~>~19)~=~1~-~P(x~<~19)~=~1~-~P(z~<~\dfrac{19~-~18.2}{4.1})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(x~>~19)~=~1~-~P(z~<~0.19)~=~1~-~0.5753~=~0.4247}$

La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de este grupo tenga una nota de estadística mayor de 19 puntos es de 0.4247.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio menor a 14?

$\bold{P(x~<~14)~=~ P(z~<~\dfrac{14~-~18.2}{4.1})~=~P(z~<~-1.02)~=~0.1539}$

La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de este grupo tenga una nota de estadística menor a  14  puntos es de 0.1539.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio entre 15.5 y 18.5?

Cuando se trabaja con intervalos, las probabilidades se obtienen por diferencias de las probabilidades acumuladas a la cola izquierda de los extremos de dicho intervalo:

$\bold{P(b<x<a)~=~P(x<a)~-~P(x<b)~=~P(z<\dfrac{a-\mu}{\sigma})~-~P(z<\dfrac{b-\mu}{\sigma})}$

En el caso que nos ocupa:

$\bold{P(15.5~<~x~<~18.5)~=~P(x~<~18.5)~-~P(x~<~15.5)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(15.5~<~x~<~18.5)~=~P(z~<~\dfrac{18.5~-~18.2}{4.1})~-~P(z~<~\dfrac{15.5~-~18.2}{4.1})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(15.5<x<18.5)=P(z<0.07)-P(z<-0.66)=0.5279-0.2546=0.2733}$

La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de este grupo tenga una nota de estadística entre  15.5  y  18.5  puntos es de 0.2733.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga un promedio entre 12 y 17?

$\bold{P(12~<~x~<~17)~=~P(x~<~17)~-~P(x~<~12)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(12~<~x~<~17)~=~P(z~<~\dfrac{17~-~18.2}{4.1})~-~P(z~<~\dfrac{12~-~18.2}{4.1})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(12<x<17)=P(z<-0.29)-P(z<-1.51)=0.3859-0.0655=0.3204}$

La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de este grupo tenga una nota de estadística entre  12  y  17  puntos es de 0.2733.