Question

Distribución de Hipergeométrica
En los exámenes de inglés de la carrera de pedagogía de los idiomas, se tiene 50 exámenes por cada curso, de los cuales 10 tienen una nota menor a 10, se escogen 20 exámenes para un análisis, si existen más de 2 exámenes con notas menores de 10, se repite el examen.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se repita el examen?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de 3 exámenes con notas menor que 10?

Answer 1

Hay una probabilidad de  0,1506  de que el examen de inglés de la carrera de pedagogía de los idiomas no se repita.

Distribución Hipergeométrica

Sea    N    el número total de objetos en una población finita, de manera tal que   k    de estos es de un tipo y    N  -  k    de otros. Si se selecciona una muestra aleatoria de    n    objetos con    x    de un tipo y   n  –  x    de otro,  entonces la variable aleatoria    X    tiene una distribución hipergeométrica:

X  ~  H( N,  n,  k )

$\bold{p(X,~N,~n,~k)~=~P(X~=~x)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}k\\x\end{array})(\begin{array}{c}N~-~k\\n~-~x\end{array})}{(\begin{array}{c}N\\n\end{array})}}$

donde        $\bold{(\begin{array}{c}p\\q\end{array})}$        es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}p\\q\end{array})~=~\dfrac{p!}{(p~-~q)!~q!}}$

La variable aleatoria    X    igual al número de exámenes con nota menor que  10, tiene una distribución hipergeométrica con parámetros:

X  ~  H( 50,  20,  10 )

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se repita el examen?

El examen se repite si existen más de 2 exámenes con notas menores de 10, entonces, no se repite el examen si    x  =  0,  1  o  2

P(X  ≤  2)  =  P(X  =  0)  +  P(X  =  1)  +  P(X  =  2)

$\bold{P(X~=~0)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\0\end{array})(\begin{array}{c}50~-~10\\20~-~0\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~\dfrac{(1)(\begin{array}{c}40\\20\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~0,0146}$

$\bold{P(X~=~1)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\1\end{array})(\begin{array}{c}50~-~10\\20~-~1\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\1\end{array})(\begin{array}{c}40\\19\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~0,0278}$

$\bold{P(X~=~2)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\2\end{array})(\begin{array}{c}50~-~10\\20~-~2\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\2\end{array})(\begin{array}{c}40\\18\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~0,1506}$

P(X  ≤  2)  =  0,0146  +  0,0278  +  0,1082  =  0,1506

Hay una probabilidad de  0,1506  de que el examen de inglés de la carrera de pedagogía de los idiomas no se repita.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de 3 exámenes con notas menores que 10?

Se pide calcular la probabilidad de que  x  sea  4  o más. Esta probabilidad es más sencillo calcularla con la probabilidad del evento complemento, es decir,

P(X > 3)  =  1  -  P(X ≤ 3)  =  1  -  [P(X = 0)  +  P(X = 1)  +  P(X = 2)  +  P(X = 3)]

De estas probabilidades, solo falta calcular la última

$\bold{P(X~=~3)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\3\end{array})(\begin{array}{c}50~-~10\\20~-~3\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~\dfrac{(\begin{array}{c}10\\3\end{array})(\begin{array}{c}40\\17\end{array})}{(\begin{array}{c}50\\20\end{array})}~=~0,0565}$

P(X  >  3)  =  1  -  (0,0146  +  0,0278  +  0,1082  +  0,0565)  =  0,7929

Hay una probabilidad de  0,7929  de que existan más de  3  exámenes de inglés con notas menores que 10.