Question

Sean A(p, q) y B(s, t) dos puntos en el plano cartesiano, con p, q, s y t números
reales y s es diferente p. Si L es la recta que pasa por ambos puntos y m su pendiente,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) m= (s-p)/(t-q)
B) El punto (p + s, t + q) pertenece a L.
C) L intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, -mq + p).
D) L intersecta al eje de las abscisas.
E) Una ecuación de L está dada por mx -y + t -ms = 0.
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para responder esta pregunta determinaremos la ecuación de la recta L, que pasa por los puntos A y B a fin de verificar cuál de las afirmaciones es Verdadera.

Para ello debemos recordar que la ecuación de la recta está dada por la fórmula Y = mX + n, en donde m es la pendiente y n, el coeficiente de posición. Además, la pendiente de una recta que pasa por los puntos P(a, b) y Q(c, d) está dada por la fórmula $m = \frac{d - b}{c - a}$

En ese sentido, podemos decir que la primera afirmación es falsa ya que, en este ejercicio la [tex] m = \frac{t - q}{s - p} [/tex]

Con respecto a la segunda afirmación, debemos determinar la ecuación de la recta L de acuerdo a qué punto se considere A o B, teniendo en consideración que una forma de la ecuación de una recta que pasa por el punto (x₀, y₀) y cuya pendiente es m está dada por (y - y₀) = m(x - x₀)

Entonces... Y - t = m(X - s)   o   Y - q = m(X- p)
Y = mX - ms + t   o   Y = mX - mp + q

Reemplazamos el punto (p + s,  t + q) en las expresiones anteriores y obtenemos que:
Y = mX - ms + t    →    (t + q) - t = m[(p + s) - s]   →   t + q - t = m(p + s - s)   →
q = mp   →   $m = \frac{q}{p}$

Y = mX - mp + q   →   (t + q) - q = m((p + s) - p)   →   t + q - q = m(p + s - p)   →   t = ms   →   $m = \frac{t}{s}$

Y como en ambos casos m es distinta a la pendiente de la recta L, la afirmación es falsa

La tercera afirmación también es falsa ya que en este caso, el coeficiente de posición de la ecuación de la recta puede ser  (0, - ms + t)  ó  (0, -mp + q) y estos son distintos del punto (0, - mq + p)

La opción D es falsa, ya que por ejemplo, si la pendiente de la recta L es0 y su coeficiente de posición es ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje delas abscisas.

Por último, de la ecuación y = mx - mp + q se obtiene mx - y + q - mp = 0 por lo que la Opción E es la opción correcta.
Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas