Problema B.2. Se dan las rectas s r ={ (x – y + 3 = 0) (2x – z + 2 = 0) y s ={ (3y + 1 = 0) (x – 2z – 3 = 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. (3 puntos)
b) La recta t que pasa por el punto ( 0,0,0 ), sabiendo que un vector director de t es perpendi– cular a un vector director de r y también es perpendicular a un vector director de s. (3 puntos)
c) Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la recta r. (4 puntos).
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas a la pregunta
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r.
Se transforman las rectas r y s en su forma paramétrica.
Para r:
X = λ1
Y = λ1 + 3
Z = 2λ1 + 2
r: λ1(1, 1, 2) + (0, 3, 2)
Para s:
X = 2λ2 + 3
Y = -1/3
Z = λ2
s: λ2(2, 0, 1) + (3, -1/3, 0)
Si las rectas pueden ser contenidas en un mismo plano, ambas deben o ser paralelas o interceptarse en un punto.
Verificar paralelismo:
(1, 1, 2) = β(2, 0, 1)
β = 1/2 = ∞ = 2
Como los valores de β no coinciden, las rectas no son paralelas.
Verificar intercepción:
Las rectas deben coincidir en un punto.
2λ2 + 3 = λ1 (1)
λ1 + 3 = -1/3 (2)
2λ1 + 2 = λ2 (3)
De la ecuación 2 se tiene que λ1 = -10/3.
Los valores de λ2 son -19/6 o -14/3.
Pr (-10/3, -1/3, -14/3)
Ps1 (-10/3, -1/3, -19/6)
Ps2(-19/3, -1/3, -14/3)
Como las rectas r y s no tienen punto de intersección, se concluye que no existe un plano paralelo a s y que contenga a r.
b) La recta t que pasa por el punto (0, 0, 0), sabiendo que el vector director de t es perpendicular al vector director de r y también es perpendicular al vector director de s.
Si el vector director de t es perpendicular a r y s al mismo tiempo, entonces quiere decir que el director de t es el resultado del producto vectorial de los directores de r y s.
Vdt = Vdr x Vds = (1, 1, 2) x (2, 0, 1)
Vdt = (1, 3, -2)
La recta t es:
t: λ(1, 3, -2) + (0, 0, 0)
c) Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la recta r.
Si el plano es perpendicular a la recta s, su normal entonces será el vector director de la recta, es decir:
N = Vds = (2, 0, 1)
De existir un plano perpendicular a s y que contenga a r, se puede demostrar que el vector director de la recta r y la normal del plano deben ser perpendiculares, esto se verifica con el producto escalar.
N o Vdr = |N| * |Vdr| * Cos(σ)
|N| = √2^2 + 0^2 + 1^2 = √5
|Vdr| = √1^2 + 1^2 + 2^2 = √6
(2, 0, 1) o (1, 1, 2) = √5 * √6 * Cos(σ)
2 + 2 = √5 * √6 * Cos(σ)
4/√30 = Cos(σ)
σ = ArcCos(4/√30) = 43,09 º
El ángulo entre el vector normal del supuesto plano y el director de la recta r no son perpendiculares, por lo tanto es imposible encontrar un plano perpendicular a s y que contenga a r.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.