Problema B.2. Se dan las rectas s r ={ (x – y + 3 = 0) (2x – z + 2 = 0) y s ={ (3y + 1 = 0) (x – 2z – 3 = 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. (3 puntos)
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas a la pregunta
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r.
Se transforman las rectas r y s en su forma paramétrica.
Para r:
X = λ1
Y = λ1 + 3
Z = 2λ1 + 2
r: λ1(1, 1, 2) + (0, 3, 2)
Para s:
X = 2λ2 + 3
Y = -1/3
Z = λ2
s: λ2(2, 0, 1) + (3, -1/3, 0)
Si las rectas pueden ser contenidas en un mismo plano, ambas deben o ser paralelas o interceptarse en un punto.
Verificar paralelismo:
(1, 1, 2) = β(2, 0, 1)
β = 1/2 = ∞ = 2
Como los valores de β no coinciden, las rectas no son paralelas.
Verificar intercepción:
Las rectas deben coincidir en un punto.
2λ2 + 3 = λ1 (1)
λ1 + 3 = -1/3 (2)
2λ1 + 2 = λ2 (3)
De la ecuación 2 se tiene que λ1 = -10/3.
Los valores de λ2 son -19/6 o -14/3.
Pr (-10/3, -1/3, -14/3)
Ps1 (-10/3, -1/3, -19/6)
Ps2(-19/3, -1/3, -14/3)
Como las rectas r y s no tienen punto de intersección, se concluye que no existe un plano paralelo a s y que contenga a r.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.