La vagoneta viaja por la colina descrita por y=-1.5(10^-3)×^2+15 pies. Si tiene una rapidez constante de 75 pies /s determine los componentes x e y densu velocidad y aceleracion cuando ×=50 p
Respuestas a la pregunta
Las componentes x e y de la velocidad de la furgoneta para x=50ft son :
Vx = 74.2 ft/s ← ; Vy = 11.13 ft/s ↑
Las componentes x e y de la aceleración de la furgoneta para x=50ft son :
ax = 2.42 ft/s2 ← ; ay =16.1 ft/s2 ↓
Se deriva la ecuación de la trayectoria con respecto al tiempo:
y= 1.5*10^-3 *x² + 15
dy/dt= -3*10^-3*x *dx/dt
Vy = -3*10^-3*x *Vx
Como x = 50 ft :
Vy = -3*10^-3 * 50* Vx
Vy = -0.15*Vx
V²= Vx²+ Vy²
75²= Vx²+ ( -0.15Vx)²
De donde : Vx = 74.2 ft/s ←
Vy = -0.15Vx= -0.15*-74.2 = 11.13 ft/s
Vy = 11.13 ft/s ↑
Las componentes x e y de la aceleración de la furgoneta para x=50ft :
Se obtiene la segunda derivada de la ecuación de la trayectoria:
dy/dt= -3*10^-3*x *dx/dt
d²y/d²t= -3*10^-3 *( (dx/dt)² +x*d²x/d²t )
ay = -3*10^-3 * ( Vx²+ x*ax )
ay = -3*10^-3* ( 72.4² + 50*ax)
ay = - ( 16.504 + 0.15*ax)
θ = tang⁻¹ ( dy/dx) para x = 50 ft
θ = tang⁻¹ ( -3*10^-3 *50 ) = -8.531º
ax *cosθ - ay*senθ =0
Al resolver las ecuaciones :
ax = -2.42 ft/s2 = 2.42 ft/s2 ←
ay = -16.1 ft/s2 = 16.1 ft/s2 ↓
Las componentes de la velocidad de la vagoneta son:
- Vx = 75 ft/s
- Vy = -11.25ft/s
Las componentes de la aceleración son de :
- ax = 20.08 ft/s²
- ay = -133.73 ft/s²
¿Qué son las derivadas?
Las derivadas en forma teóricas son razones de cambio con la que una función o una variable varía en función del tiempo.
¿Qué es la velocidad?
La velocidad es la razón de cambio de la posición respecto al tiempo, su definición como función parte de la derivada del desplazamiento:
V(t) = dS/dt
La ecuación que define la trayectoria de una vagoneta viene dada por la expresión:
Y = -1.5×10⁻³x² + 15
Si queremos hallar la velocidad basta con que derivemos esta expresión de la siguiente manera:
Y' = -3.0×10⁻³x dx/dt
Vy = -3.0×10⁻³xVx se nos dice que X = 50ft
Vy = -3.0×10⁻³*50ft * 75ft/s
Vy = -11.25 ft/s
¿Qué es la aceleración?
La aceleración se define como la segunda derivada del desplazamiento o la derivada de la velocidad:
a = d/dt(dS/dt) = dV/st
Es la razón de cambio de la velocidad, genera un cambio constante a través del tiempo.
Para determinar la aceleración derivamos dos veces la trayectoria, pero como ya lo hicimos con la velocidad, entonces lo haremos solo una vez mas respecto a la velocidad.
Y'' = Vy' = -3.0×10⁻³( (dx/dt)² +x*d²x/d²t )
ay = -3.0×10⁻³( Vx² +x*ax ) recordamos que el análisis es para x = 50ft
ay = -3.0×10⁻³( 75² +x50*ax )
ay = -16.875 - 7.5ax (1)
determinamos el ángulo con lel diferencial de trayectoria:
θ = Tg⁻¹ ( dy/dx) para x = 50 ft
θ = Tg⁻¹ ( -3*10^-3 *50 )
θ = -8.531º
axCosθ - aySenθ =0
ay = axCosθ/Senθ =-6.66ax
(2) Resolviendo (1) y (2) Tenemos las componentes de la aceleración:
-6.66ax = -16.875 - 7.5ax
ax =
- ax = 20.08 ft/s²
- ay = -133.73 ft/s²
Aprende más sobre Derivadas, velocidad y aceleración en:
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