Question

Encuentra la ecuación canónica y la ecuación general de la elipse que cumple con las condiciones señaladas.

303. Sus vértices son (3, —4) y (3, 6) y los puntos de corte con el eje normal son (1, 1), (5 1).

Answer 1

Respuesta:

 (x - 3)²        (y - 1)²
----------  +  ----------- = 1 ← ecuación canónica
    2²               5²

25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse

Explicación:

1) De acuerdo con la definición de tu libro, Matemáticas 10.2 Siglo XXI, en la página 116, los puntos de corte con el eje normal de una elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y son:

B₁ (h - b, k) y B₂ (h + b, k)

y los vértices son:

V₁ (h, k-a) y V₂ (h, k + a)

Donde, h y k son las coordenadas del centro, a es la longitud del semieje mayor, y b es la longitud del semieje menor.

2) Aplicando la definición del vértice dada arriba:

V₁ = (3, - 4); V₂ = (3,6) ⇒

h = 3

k - a =  -4
k + a = 6

⇒ 2k = - 4 + 6 = 2 ⇒ k = 1

a = k + 4 = 1 + 4 = 5

Por tanto, el centro es (3, 1), y a = 5

3) Aplicando la definición de los puntos de corte con el eje normal dada arriba a los valores dados:

B₁ (h - b, k) = (1,1) y B₂ (h + b, k) = (5,1)

⇒ h - b  = 1
    h + b = 5
------------------
   2h = 6 ⇒ h = 3 (lo cual ya se había encontrado arriba y esto es solo una ratificación)

⇒ b = 5 - h = 5 - 3 = 2

Por tanto, b = 2

4) Ya tienes los valores para reemplazar en la ecuación canónica.

La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje y es:

(x  - h)²     (y - k)²
--------- + ---------- = 1
    b²           a²

Con lo que solo debes reemplazar b = 2, a = 5, h = 3, k = 1, y obtienes:

 (x - 3)²        (y - 1)²
----------  +  ----------- = 1 ← ecuación canónica
    2²               5²

5) La ecuación general se determina expandiendo los binomios y realizando las operaciones hasta encontrar una expresión de la forma:

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, donde A y B son diferentes de 0 y tienen el mismo signo.

⇒

 x² - 6x + 9      y² - 2y + 1
--------------- + --------------- = 1
        4                  25

25(x² - 6x + 9) + 4(y² - 2y + 1) = 100

25x² - 150x + 225 + 4y² - 8y + 4 = 100

25x² + 4y² - 150x - 8y + 129 = 0 ← ecuación general de la elipse

Te dejo un enlace a otro ejemplo de ecuaciones de elipse https://brainly.lat/tarea/8766946