Question

Encontrar la Ecuación de la Elipse que tiene vértice en 0,-12 y foco en 0,-4.

Answer 1

Haber, hemos supuesto que el centro está en el origen ya que solo con dos datos no se puede resolverlo, entonces, tenemos tres datos, el vértice el foco y centro,

Abajo tienes la gráfica para ayudarnos, y esá señalado cada una de las distancias con un color y una letra, de ahí ya conocemos algunas cosas,

La distancia del centro al vértice se le llama (a)
La distancia del centro al foco se le llama (c)
La distancia del centro a los vértices LATERALES se le llama (b),

por lo tanto por fórmula general decimos que se cumple,

$a^{2} =b^{2} +c^{2}$

el valor de (a) si conocemos es a=12
el valor de (c) si conocemos es c=4

entonces podemos hallar (b)

$b^{2} = (12)^{2} -(4)^{2} \\ b=8 \sqrt{2}\approx 11,31$

es mejor trabajarle con la raíz el decimal se ve feo, listo,

Ahora la fórmula canónica de la elipse vertical centrada en el origen es,

$\displaystyle \frac{x^{2} }{b^{2}} + \frac{y^{2} }{a^{2} } =1 \\ \\ \frac{x^{2} }{(8 \sqrt{2} )^{2}} + \frac{y^{2} }{(12)^{2} } =1 \\ \\ \frac{x^{2} }{128} + \frac{y^{2} }{144 } =1$

y esa sería la ecuación espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas