En una empresa se ha determinado que la función de demanda diaria de un producto es p=136-0,03q y su función de costos es C(q)=120q 0,02q2 500 ¿Cuál es la cantidad que maximiza las ganancias y cuál es la ganancia máxima?.
Respuestas a la pregunta
Analizando la función de demanda y la función de costos de la empresa, tenemos que:
- La cantidad que maximiza las ganancias es de 160 unidades.
- La ganancia máxima es de $780.
¿Qué es la ganancia?
La ganancia no es más que la diferencia entre los ingresos y los costos, es decir:
- Ganancia = Ingresos - Costos
Resolución del problema
Teniendo la función de demanda y la función de costos, tenemos que la función de ganancia es:
G(q) = q·p(q) - C(q)
G(q) = q·(136 - 0.03q) - (120q + 0.02q² + 500)
G(q) = 136q - 0.03q² - 120q - 0.02q² - 500
G(q) = -0.05q² + 16q - 500
Ahora, usando la primera derivada, buscamos el punto crítico de la función de ganancia. Entonces:
G'(q) = -0.1q + 16
-0.1q + 16 = 0
q = 16/0.1
q = 160
Verificamos con la segunda derivada si esta es un máximo o un mínimo:
G''(q) = -0.1 < 0 ⇒ El punto crítico es un máximo
Por tanto, la cantidad que maximiza las ganancias es 160 unidades.
Ahora, la ganancia máxima será:
G(160) = -0.05(160)² + 16(160) - 500
G(160) = $780
En conclusión, la ganancia máxima es de $780.
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