Question

En la figura adjunta, ABCD y AECF son dos cuadrados ubicados en planos
perpendiculares entre sí, con AC diagonal común. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El triángulo BCF es rectángulo.
II) Los puntos A, B, C, D, E y F son los vértices de un octaedro regular.
III) BD y EF son las dos diagonales de un mismo cuadrado.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para hallar la respuesta a esta pregunta debemos determinar que afirmaciones son verdaderas, analizando las características de los polígonos que forman los dos cuadrados del enunciado.

Sabemos que ABCD y AECF son cuadrados ubicados en planos perpendiculares con una diagonal común, es decir que son congruentes.

Si suponemos que los lados de los cuadrados miden "b", entonces CF = CB = b y la diagonal AC mide b√2

Además, si M es el punto de intersección de las diagonales DB y FE, siendo FE es una diagonal del cuadrado AECF y DB una diagonal del cuadrado ABCD, se tiene que BM = FM = $\frac{b \sqrt{2} }{2}$

Ahora, si trazamos una línea entre F y B, obtendremos el triángulo cuadrado FMB con el que podemos hallar el valor de FB utilizando el teorema de Pitágoras que dice que:
H² = C² + C²
FB² = MF² + MB²
$FB^{2} = (\frac{b \sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{b \sqrt{2}}{2})^{2}$
$FB^{2} = 2(\frac{b\sqrt{2}}{2})^{2}$
$FB^{2} = 2\frac{b^{2}.2}{4}$
FB² = b²
FB  = b
 
Por lo que FB = CF = CB = b cm.

Ahora... I. Esta afirmación es falsa ya que, si FB = CF = CB = b el triángulo es equilatero y no rectángulo.

II. Esta afirmación es verdadera ya que, si decimos que uno de los lados de los cuadrados mide "b" entonces FC = CE = EA = AF = CD = DA = AB = BC = b.

III. Esta afirmación tambien es verdadera ya que, el triángulo FMB es un triángulo isósceles, es decir que sus ángulos miden 45°. Entonces FMB = FMD =  DME = EMB y ∡BFD = ∡FDE = ∡DEB = ∡EDF = 90°

Como solo II y III son verdaderas, la respuesta correcta es la Opcion D

Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas