Ejercicio 4B . Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la matriz
A =
3 1
1 0
Hallar todas las matrices
B =
a b
c d
que conmutan con A, es decir que cumplen AB = BA.
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.
Respuestas a la pregunta
En primer lugar hay que determinar tanto los productos entre AB como BA, como sigue:
AB = (3 1) * (a b) = (3a + c 3b + d)
(1 0) (c d) ( a b )
BA = (a b) * (3 1) = (3a + b a)
(c d) (1 0) (3c + d c)
Como se desea que AB = BA se iguala cada elemento de la matriz AB con su correspondiente elemento en la matriz BA. El sistema de ecuaciones queda:
3a + c = 3a + b
a = 3b + d
a = 3c + d
b = c
Como b = c, entonces la segunda y la tercera ecuación son linealmente dependientes, por lo tanto se descarta cualquiera de las ecuaciones, por lo tanto el sistema se reduce a:
a = 3b + d
b = c
Como son dos ecuaciones con 4 incógnitas, se concluye que se deben conocer dos valores (a o d, b o c) para conocer a los 2 restantes.
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.