Question

Ejercicio 2B . Calificación máxima: 3 puntos.
Dados los puntos P(−1, −1, 1), Q(1, 0, 2) y los planos π1 ≡ x − z = 0, π2 ≡ my − 6z = 0, π3 ≡ x + y − mz = 0,
se pide:

a) (1 punto) Calcular los valores de m para los que los tres planos se cortan en una recta.
b) (1 punto) Para m = 3, hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y es perpendicular
a la recta de intersección de los planos π1 y π2.
c) (1 punto) Hallar la distancia entre los puntos Q y P', siendo P' el punto simètrico de P respecto
al plano π1. Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.

Answer 1

a) Calcular los valores de m para los que los tres planos se cortan en una recta.

 

Para encontrar la recta en donde se cortan los tres planos hay que aplicar un producto vectorial para determinar su vector directriz:

 

       | i    j    k |

V = | 0  m  -6 | 

       | 1 1  –m |

V = (i) [(m)(-m) – (-6)(1)] – (j) [(0)(-m) – (1)(-6)] + (k) [(0)(1) – (1)(m)] = (-m^2 + 6, -6,-m) 

El vector debe estar contenido en el plano faltante, por lo que se sustituyen sus componentes:

 

-m^2 + 6 – (-m) = 0

 

-m^2 + m + 6 = 0

 

m1 = 3

 

m2 = -2

 

b) Para m = 3, hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta de intersección de los planos π1 y π2.

 

Para m = 3 los planos son:

 

π1 ≡ x − z = 0, π2 ≡ 3y − 6z = 0, π3 ≡ x + y − 3z = 0

 

Se determina la recta formada por el plano 1 y 2:

 

       | i    j    k |

D = | 1   0  -1 | 

       | 0  3  -6 |

 

D = (i) [(0)(-6) – (-1)(3)] – (j) [(1)(-6) – (0)(-1)] + (k) [(1)(3) – (0)(0)] = (3, 6, 3)

Como  el plano deseado es perpendicular a D, se deduce que D es su normal como P esta contenido, se tiene que el plano es:

 

π: 3(-1) + 6(-1) + 3(1) + K = 0 => K = 6

 

π: 3x + 6y + 3z + 6 = 0

 

c) Hallar la distancia entre los puntos Q y P', siendo P' el punto simétrico de P respecto al plano π1.

 

Se determina la distancia entre P y π1.

 

d = |(1)(-1) – (1)(1)| / √1^2 + (-1)^2 = √2

 

Se determina el vector unitario de la normal del plano 1:

 

U = (√2 / 2, 0, -√2 / 2)

 

Si se duplica la distancia entre el punto y el plano, y además se multiplica por el vector unitario se tiene el vector PP’:

 

2√2 * (√2 / 2, 0, -√2 / 2) = (Px, Py, Pz) - (-1, -1, 1)

 

(Px, Py, Pz) = (-1, -1, 1) + (2, 0, -2) = (1, -1, -1)

 

P’ = (-3, -1, 3)

 

La distancia entre Q y P’ es:

 

|QP’| = √(1 +1)^2 + (-1)^2 + (-1 + 2)^2 = √6

 

La distancia entre Q y P' es de √6 unidades.

Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.