Ejercicio 4.- Considera los puntos B(1, 2, −3), C(9, −1, 2), D(5, 0, −1) y la recta r ≡
x + y + 1 = 0
y − z = 0
a) [1’25 puntos] Calcula el ́area del tri ́angulo cuyos v ́ertices son B, C y D.
b) [1’25 puntos] Halla un punto A en la recta r de forma que el tri ́angulo ABC sea rect ́angulo en A.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.
a) Para resolver el área del triángulo debemos calcular los vectores dados por la distancia entre los vértices, los cuales son: BC = (8, 3,5) ; BD = (4, 2, 2).
La formula del área del triangulo es la siguiente: S = 1/2 | BC x BD |
Calculamos el módulo del vector BC x BD
=
sustituyendo los valores en la formula del área tenemos que el área del triangulo es:
b) llevamos la ecuación de la recta a su forma paramétrica
x = - 1 – t
y = t
z = t
por lo tanto, cualquier punto A de la recta r tendrá las siguientes coordenadas A = (-1-t,t,t).
suponiendo que el ángulo recto está en A, entonces los vectores AB y AC serán perpendiculares con el producto escalar igual a 0.
AB = (2+t, 2-t, -3-t)
AC = (10+t, -1-t, 2-t)
Resolviendo el producto escalar AB.AC=0, tenemos:
(2+t, 2-t, -3-t). (10+t, -1-t, 2-t)=0
⇒ 3t2 + 12t + 12 = 0
⇒ t = -2
De esta forma, A = (1,-2,-2) es el punto solicitado.