PAU-Selectividad, pregunta formulada por alcoramarheidy, hace 1 año

Ejercicio 4.- Considera los puntos B(1, 2, −3), C(9, −1, 2), D(5, 0, −1) y la recta r ≡

x + y + 1 = 0
y − z = 0

a) [1’25 puntos] Calcula el ́area del tri ́angulo cuyos v ́ertices son B, C y D.

b) [1’25 puntos] Halla un punto A en la recta r de forma que el tri ́angulo ABC sea rect ́angulo en A.


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Respuestas a la pregunta

Contestado por erikalmeida
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Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Para resolver el área del triángulo debemos calcular los vectores dados por la distancia entre los vértices, los cuales son: BC = (8, 3,5) ; BD = (4, 2, 2).


 La formula del área del triangulo es la siguiente: S = 1/2 | BC  x BD  |

 

Calculamos el módulo del vector BC x BD

    \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\8&-3&5\\4&-2&2\end{array}\right] 4i + 4j - 4k =  \sqrt4^2+4^2+ 4^2}  =   \sqrt{12} = 6.9282

 

sustituyendo los valores en la formula del área tenemos que el área del triangulo es:


S = 6.9282/2 = 3,96 u^2



b)      llevamos la ecuación de la recta a su forma paramétrica

x = - 1 – t

y = t

z = t

 

por lo tanto, cualquier punto A de la recta r tendrá las siguientes coordenadas A = (-1-t,t,t).


suponiendo que el ángulo recto está en A, entonces los vectores AB y AC serán perpendiculares con el producto escalar igual a 0.

 

AB = (2+t, 2-t, -3-t)

AC = (10+t, -1-t, 2-t)

 

Resolviendo el producto escalar AB.AC=0, tenemos:

 

(2+t, 2-t, -3-t). (10+t, -1-t, 2-t)=0

 3t2 + 12t + 12 = 0

⇒ t = -2

 

De esta forma, A = (1,-2,-2) es el punto solicitado.

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