Ejercicio 3.- Considera la matriz A =
k 1 + k
1 − k 0
Determina, si existen, los valores de k en cada uno de los casos siguientes:
a) [0’75 puntos] rango(A) = 1.
b) [0’75 puntos] A2 = A.
c) [0’5 puntos] A tiene inversa.
d) [0’5 puntos] det(A) = −2.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II
Respuestas a la pregunta
a) Rango (A) = 1.
Se calcula el determinante de A.
| k 1+k|
|1-k 0 |
Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1
Det(A) = k^2 – 1 = 0
k = ±1
El rango de A será 1 si k = ±1.
b) A^2 = A
A^2 = A
A*A = A
( k 1+k) * ( k 1+k) = ( k 1+k)
(1-k 0 ) (1-k 0 ) (1-k 0 )
( 1 k + k^2) = ( k 1+k)
(k – k^2 1-k^2) (1-k 0 )
El sistema de ecuaciones es:
k = 1
k + k^2 = 1 + k => k = ±1
k – k^2 = 1 – k => 1
1 – k^2 = 0 => k = ±1
Finalmente se cumple que A^2 = A cuando k = 1.
c) A tiene inversa.
Para que A tenga inversa, el Det(A) ≠ 0.
| k 1+k|
|1-k 0 |
Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1
Det(A) = k^2 – 1 ≠ 0
k ≠ ±1
A tiene matriz inversa para todos los valores de k excepto k = ±1.
d) Det(a) = -2.
| k 1+k|
|1-k 0 |
Det(A) = 0 – (1+k)(1-k) = k^2 – 1
Det(A) = k^2 – 1 = -2
Det(A) = k^2 + 1 = 0
No existe ningún valor de k que haga que el determinante de A sea igual a -2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.