Ejercicio 2.- Sea f : (0, +∞) → R la funci´on dada por f(x) = ln(x) (ln representa logaritmo neperiano).
b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gr´afica de f, la recta y = x − 1 y la recta x = 3.
Calcula su ´area
Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II
Respuestas a la pregunta
b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica f, la recta y = x – 1 y la recta x = 3. Calcula su área.
Para determinar el área se debe aplicar una integral en la cual, se haga un barrido horizontal cuyos límites serán 1 y 3 y que las funciones en la integral serán f(x) = X – 1 y f(x) = ln(x).
∫[(x – 1) – ln(x)]dx
Se separan los términos que suman o restan.
∫xdx - ∫dx - ∫ln(x)dx
x^2/2 – x - ∫ln(x)dx
Se resuelve ∫ln(x)dx.
∫ln(x)dx
u = ln(x)
du = (1/x) dx
dv = dx
v = x
Sustituyendo se tiene que:
x*Ln(x) - ∫x*(1/x) dx
∫ln(x)dx = x*ln(x) – x
Se tiene que el área es:
A = x^2/2 – x - x*ln(x) + x | (Comprendido entre 1 y 3)
A = x^2/2 - x*ln(x) | (Comprendido entre 1 y 3)
A = [(3)^2/2 - 3*ln(3)] – [1^2/2 - 1*ln(1)]
A = 0,704
La grafica se encuentra en la imagen adjunta.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.
