Question

Ejercicio 3.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales



(3α − 1)x + 2y = 5 − α
αx + y = 2
3αx + 3y = α + 5
a) [1’5 puntos] Disc´utelo seg´un los valores del par´ametro α.
b) [1 punto] Resu´elvelo para α = 1 y determina en dicho caso, si existe, alguna soluci´on donde x = 4.


Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

a)      Discútelo según los parámetros de α.

 

Del sistema de ecuaciones se puede obtener la siguiente matriz:

 

((3α – 1)   2 | (5 – α))

(      α        1 |      2     )

(     3α       3 | (5 + α))

 

Se aplica la siguiente operación F3 = F3 – 3F2

 

((3α – 1)   2 | (5 – α))

(      α        1 |      2     )

(      0        0 |  (α – 1))

 

Finalmente se tiene que:

 

α – 1 = 0

 

α = 1

 

Para todo valor α ≠ 1 el sistema será incompatible.

 

Si α = 1, el sistema se resuelve como:

 

(2   2 | 4)

(1   1 | 2)

(3   3 | 6)

 

Se aplican las siguientes operaciones, F1 = F1/2 y F3 = F3 /3.

 

(1   1 | 2)

(1   1 | 2)

(1   1 | 2)

 

Finalmente se obtiene que todas las ecuaciones son linealmente dependientes, por lo tanto la ecuación queda:

 

X + Y = 2

 

Si X = λ, entonces:

 

α = 1

 

X = λ

 

Y = 2 – λ

 

Para α = 1 el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado ya que su resultado es de 1 ecuación con 2 incógnitas.

 

b)      Resuélvelo para α = 1 y determina en dicho caso, si existe, una solución dónde x = 4.

 

Como ya se demostró en la sección pasada, cuando α = 1 el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto las soluciones posibles al sistema son infinitas.

 

X + Y = 2

 

Si X = 4, entonces:

 

4 + Y = 2

 

Y = -2

 

Solución:

 

α = 1

 

X = 4

 

Y = -2

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.