Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { ax + 7y + 5z = 0 , x + ay + z = 3 , y + z = −2 , se pide:
a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de a.
b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 4. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
Por favor

Answer 1

Esta es la solución de la respuesta al ejercicio 2 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2012 - 2013 de Matemática II:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

ax + 7y + 5z  =  0
  x + ay +   z  =  3
         y  +   z  = -2

a) Calculamos el determinante del sistema de ecuaciones, en forma matricial:

$det(A) = \left[\begin{array}{cccc}a&7&5&0\\1&a&1&3\\0&1&1&2\end{array}\right]$ 

det(A) = a² - a - 2 = 0

a = -1  o a = 2

Estudiamos caso por caso,

Para a≠1 y a≠2   |A| ≠ 0    ⇒ Rango(A) = 3    ∴ El sistema es compatible y determinado

Para a = -1
             _
$det(A) = \left[\begin{array}{cccc}-1&7&5&0\\1&-1&1&3\\0&1&1&-2\end{array}\right]$

|A| = 0   ⇒  $\left[\begin{array}{cc}-1&7\\1&-1\\\end{array}\right]$ = -6 ≠ 0

Rango (A) = 2

$\left[\begin{array}{ccc}-1&7&0\\1&-1&3\\0&1&-2\end{array}\right] = 15 \neq 0$
            _
Rango(A) = 3
                                                                                        _
El sistema es incompatible porque Rango (A) ≠ Rango(A)

Para a = 2
             _
$det(A) = \left[\begin{array}{cccc}2&7&5&0\\1&2&1&3\\0&1&1&-2\end{array}\right]$

|A| = 0   ⇒  $\left[\begin{array}{cc}2&7\\1&2\\\end{array}\right]$ = -3 ≠ 0

Rango (A) = 2

|A₁| = |A| = 0

|A₂| = $\left[\begin{array}{ccc}2&7&0\\1&2&3\\0&1&-2\end{array}\right]  = 0$

|A₃| = $\left[\begin{array}{ccc}2&5&0\\1&1&3\\0&1&-2\end{array}\right]  = 0$

|A₄| = $\left[\begin{array}{ccc}7&5&0\\2&1&3\\1&1&-2\end{array}\right]  = 0$ 
           _
Rango(A) = 2
                                                                                        _
El sistema es compatible indeterminado porque Rango (A) = Rango(A) y a es también inferior al número de incógnitas del sistema, por lo que tiene soluciones infinitas.

b) Ahora resolvemos el sistema para el caso donde a = 4

4x + 7y + 5z  =  0
  x + 4y +   z  =  3
         y  +   z  = -2

$\left \{ {{x=2} \atop {y=1}}\atop {z=-3}} \right.$

c) Resolvemos el sistema para a = 2

  x + 2y +   z  =  3
         y  +   z  = -2

$\left \{ {{x= 7 + \alpha} \atop {y=-2 - \alpha}}\atop {z=\alpha}} \right.$