Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x2 − |x|.
a) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de f.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.
a) Debido a el valor absoluto presente en la ecuación, la función queda de la siguiente forma
f (x) = x2 - |x| =
⇒ x2 + x si x<0
⇒ x2 – x si x>=0
Ambas funciones son polinómicas, por lo tanto, son continuas y su derivada existe para los casos en que x toma valores menores o mayores a 0. Estudiaremos la derivabilidad cuando x=0
Como F(0) = 0
Y el limite cuando x tiende a 0 de x^2 + x es igual a 0 y el limite cuanto x tiende a 0 de x^2 – x también es 0, entonces el limite cuando x tiende a 0 de f(x) es igual a 0.
Entonces f(0) =
Podemos concluir que f(x) es continua.
Ahora, derivamos f(x) cuando x=0 y obtenemos:
F’(x) =
⇒ 2x + 1 si x<0 ⇒
⇒ 2x – 1 si x>0 ⇒
Como ≠ entonces f(x) no es derivable.