Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci´on definida por f(x) = x
x
2 + 1
.
a) [0’75 puntos] Estudia y determina las as´ıntotas de la gr´afica de f. Calcula los puntos de corte de dichas
as´ıntotas con la gr´afica de f.
b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f
(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0’5 puntos] Esboza la gr´afica de f.
Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II
Respuestas a la pregunta
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.
Asíntotas verticales: Se determinan los puntos para los cuales f(x) no existe, pero como f(x) existe para todos los números reales, la función no tiene asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales: Se aplica el límite cuando X tiende al infinito y su opuesto.
Lim x-> ±∞ [x / (x^2 + 1)] = ∞/∞ (indeterminado)
Aplicando L’Hopital:
Lim x-> ±∞ [1 / 2x] = 0
Existe una asíntota horizontal para f(x) = 0.
Asíntotas oblicuas: Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas en la función.
Ahora se sustituye f(x) = 0 en la función para despejar x.
0 = x / (x^2 + 1)
x = 0
El punto de intercepción de la asíntota con la función es el origen de coordenadas (0, 0).
b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento f y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Se deriva la función f(x) y se iguala a cero.
f’(x) = (1 – x^2) / (x^2 + 1)^2 = 0
1 – x^2 = 0
x = ± 1
Se estudian los signos en los siguientes intervalos:
(-∞, -1): (1 – (-3)^2) / ((-3)^2 + 1)^2 = -0,8
Signo negativo, por lo tanto decrece.
(-1, 1): (1 – (0)^2) / ((0)^2 + 1)^2 = 1
Signo positivo, por lo tanto crece.
(1, +∞): (1 – (3)^2) / ((3)^2 + 1)^2 = -0,8
Signo negativo, por lo tanto decrece.
c) Esboza la gráfica de f
La gráfica se encuentra en la imagen adjunta.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.
