Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un bote de conservas cil ́ındrico, con tapa, de un litro de
capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcci ́on se utilice la menor cantidad posible
de hojalata.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

En la construcción se necesitan que el área sea mínima.

 

A = 2πr^2 + 2πrh

 

También se tiene otra ecuación la cual es la del volumen.

 

V = πhr^2 = 1000

 

h = 1000 / πr^2

 

Se sustituye la altura en la primera ecuación.

 

A = 2πr^2 + 2πr(1000 / πr^2)

 

A = 2πr^2 + 2000/r

 

Se deriva la expresión encontrada y se iguala a 0.

 

A’ = 4πr – 2000/r^2 = 0

 

r = (2000/4π)^(1/3) = 5,42

 

Se deriva por segunda vez para verificar su condición de extremo.

 

A’’ = 4π + 4000/r^3

 

A’’(5,42) = 37,69 > 0 (Mínimo)

 

Finalmente se sustituye para conseguir el valor de h.

 

h = 1000 / π(5,42)^2 = 10,84

 

Solución:

 

r = 5,42

 

h = 10,84

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015-2016 MATEMÁTICAS II.