Question

cual es la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene? ​

Answer 1

La altura de la torre (h) es de aproximadamente 8.06 metros

La longitud del tirante (x) que sostiene a la torre es de aproximadamente 31.06 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (y) que equivale a la altura de la torre, el lado AC (b) que representa la distancia desde determinado punto A hasta la base de la torre y el lado AB (x) que está determinado por la longitud del tirante que la sostiene desde cierto punto A ubicado en el plano horizontal hasta la cima de la torre con un ángulo de elevación de 15°

Donde se pide hallar:

La altura de la torre

La longitud del tirante que la sostiene

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde determinado punto A hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 15°

• Distancia desde cierto punto A  hasta la base de la torre = 30 metros

• Ángulo de elevación = 15°

• Debemos hallar la altura de la torre (y) y la longitud del tirante que la sostiene (x)

Hallamos la altura de la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde determinado punto A hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 15° y debemos hallar la altura de la torre, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(15^o ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(15^o ) = \frac{altura \ de \ la \ torre\ (y) }{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A } }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre \ (y)= distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A \ . \ tan(15^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (y) = 30 \ metros \ . \ tan(15^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (y) = 30 \ metros \ . \ 0.267949192 }}$

$\boxed { \bold {altura \ de \ la \ torre\ (y) \approx 8.038475 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (y) \approx 8.04 \ metros }}$

La altura de la torre (y) es de aproximadamente 8.04 metros

Hallamos la longitud del tirante que sostiene a la torre

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde determinado punto A hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 15° y debemos hallar la longitud del tirante que sostiene a la torre, siendo la hipotenusa del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica coseno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { cos(15^o) = \frac{cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(15^o) = \frac{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A }{ longitud \ del \ tirante \ (x) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ del \ tirante \ (x) = \frac{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A }{ cos(15^o) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ del \ tirante \ (x) = \frac{ 30 \ metros }{ cos(15^o) } }}$

$\boxed { \bold {longitud \ del \ tirante \ (x) = \frac{ 30 \ metros }{0.965925826 } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ del \ tirante \ (x) \approx 31.058283 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {longitud \ del \ tirante \ (x) \approx 31.06 \ metros }}$

La longitud del tirante (x) que sostiene a la torre es de aproximadamente 31.06 metros