Matemáticas, pregunta formulada por heimerlord, hace 1 año

Considere el punto A(-2,4) y la recta L: -3x+4y=12
A) Halle la ecuación de la recta perpendicular a L que contiene al punto A.
b) Halle el punto intersección entre L y la recta vertical que contiene al punto A.
c) Halle el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos de corte de L con los ejes coordenados.

Respuestas a la pregunta

Contestado por jesusreidtpdlei4
2

Respuesta:

A) L₂ : y = (-4/3)x + 4/3

   L₂ : 4x + 3y - 4 = 0  

B) coordenadas del punto de intersección  Q(-4/5;12/5)

C) coordenadas del punto medio PM = (-2 ; 3/2)

Explicación paso a paso:

A)   ecuación general de la recta L₁ : -3x +4y -12 = 0

forma explicita de la recta L₁

4y = 3x + 12

L₁ : y = (3/4)x + 3

ecuación de la recta perpendicular L₂ que contiene el punto A

y - y₁ = m₂.(x - x₁)          donde  A = (x₁;y₁) = (-2;4)

y - 4 = m₂.(x - (-2))

y - 4 = m₂.(x +2)

como las rectas L₁ y L₂ son perpendiculares se cumple la siguiente relación entre sus pendientes

m₂ = -1/m₁   donde m₁ es la pendiente de L₁, como m₁ = 3/4 se obtiene que

m₂ = -1/(3/4)      m₂ = -4/3    ahora se regresa a la ecuación de L₂ y se establece el valor de m₂

y - 4 = (-4/3).(x + 2)

y - 4 = (-4/3)x - 8/3

y = (-4/3)x + 4/3    ecuación explicita de la recta L₂

si se multiplica ambos miembros por 3 y luego se iguala a cero se obtiene la ecuación general de la recta L₂

3y = -4x + 4

4x + 3y - 4 = 0    

B)

como las rectas son perpendiculares una respecto a la otra se tendrá una única solución para el sistema de ecuaciones formados por las ecuaciones generales de L₁ y L₂, dicha solución representa las coordenadas del punto de intersección de las rectas que se lo va denominar Q = (X;Y)

-3x + 4y - 12 = 0

4x + 3y - 4 = 0          

resolviendo el sistema por el método de igualación

(3/4)X + 3= (-4/3)X + 4/3

X(3/4 + 4/3) = 4/3 - 3

(25/12)X = -5/3

X = -(5/3).(12/25)

X = -4/5  

reemplazando en cualquier ecuación se obtendrá Y

Y = (3/4)X + 3

Y = (3/4).(-4/5) + 3

Y = -3/5 + 3

Y = 12/5

coordenadas del punto de intersección  Q(-4/5;12/5)

C)

para conocer el punto de intersección de L₁ con el eje de ordenadas se debe de dar a x el valor de cero, es decir

y = (3/4).0 + 3

y = 3  

el punto de intersección R de la recta y el eje Y es R = (0;3)

ahora para determinar N el punto de intersección de la recta con el eje de abscisas se tiene que dar el valor de cero a y

0 = (3/4)x + 3

-3 = (3/4)x

-3.(4/3) = x

-4 = x

coordenadas N = (-4;0)

por ultimo, las coordenadas del punto medio de un segmento  estan dadas por

PM =( ( x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2 )  donde los pares (x₁;y₁) (x₂;y₂) son las coordenadas de los extremos del segmento

en nuestro caso el par (x₁;y₁) = (0;3)   y   (x₂;y₂) = (-4;0) entonces

PM = (( 0 + (-4))/2 ; (3 + 0)/2)

PM = (-2 ; 3/2)


heimerlord: Muchas gracias
Otras preguntas