Question

c) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la Regla de Cramer. Valide su resultado por medio de Geogebra*.

En un parque automovilístico hay carros de color negro, blanco y azul. Se sabe que el número de carros negros y blancos es cinco veces el número de azules. También los carros negros son el triplo de los azules y el total de carros blancos y azules suman 123. ¿Determine la cantidad de carros de cada color que se encuentran en el parque?

Answer 1

  Al definir el sistema de ecuaciones lineales que representa el problema. Por medio de la Regla de Cramer se obtiene:

Carros Negros: 123

Carros Blancos: 82

Carros Azules: 41

Explicación:

Datos, partiendo del enunciado;

CN + CB = 5CA  ⇒ CN + CB - 5CA = 0  (1)

CN = 3CA  ⇒  CN - 3CA = 0  (2)

CB = 123 - CA  ⇒  CB + CA = 123  (3)

La Regla de Cramer establece, un sistema de ecuaciones Ax = B,

donde;

A = (a_ij)

$x=\left[\begin{array}{c}CN&CB&CA\end{array}\right]$  

$B=\left[\begin{array}{c}0&0&123\end{array}\right]$

La solución es: x_k = det(B_k)/det(A)

calcular el det(A);

$det(A)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-5\\1&0&-3\\0&1&1\end{array}\right]$

$=(1)\left[\begin{array}{cc}0&-3\\1&1\end{array}\right] -(1)\left[\begin{array}{cc}1&-3\\0&1\end{array}\right]+(-5)\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

= (1)(3)-(1)(1)-5(1)

det(A)= -3

calcular lo B_k para k = 1, 2, 3.

$det(B_{1})=\left[\begin{array}{ccc}0&1&-5\\0&0&-3\\123&1&1\end{array}\right]$

$=(0)\left[\begin{array}{cc}0&-3\\1&1\end{array}\right] -(1)\left[\begin{array}{cc}0&-3\\123&1\end{array}\right]+(-5)\left[\begin{array}{cc}0&0\\123&1\end{array}\right]$

= 0 -(1)(369)+(-5)(0)

det(B₁) = -369

CN = -369/-3

CN = 123

$det(B_{2})=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-5\\1&0&-3\\0&123&1\end{array}\right]$

$=(1)\left[\begin{array}{cc}0&-3\\123&1\end{array}\right] -(0)\left[\begin{array}{cc}1&-3\\0&1\end{array}\right]+(-5)\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&123\end{array}\right]$

= (1)(369) - 0 +(-5)(123)

det(B₂) = -246

CB = -246/-3

CB = 82

$det(B_{3})=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&0\\0&1&123\end{array}\right]$

$=(1)\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&123\end{array}\right] -(1)\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]+(0)\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

= (1)(0) - (1)(123) +0

det(B₃) = -123

CA = -123/-3

CA = 41