Question

A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa, para hacer basureros en cada salón de la escuela; debes recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina, después debes doblar los lados de manera adecuada para formar la caja. Un amigo te dice que debes recortar cuadrados de 10 cm de lado para obtener el basurero de mayor capacidad. ¿Podrías decidir si el comentario de tu amigo es acertado o no? Justifica tu respuesta.

Answer 1

El comentario de tu amigo es acertado. Se deben recortar cuatro cuadrados de lado x = 10 cm para la caja basurero que se forme sea la de mayor capacidad.

 

Empezamos a trabajar haciendo consideraciones geométricas:

Sea x: lado de los cuadrados que se deben recortar

cada caja tendrá un lado L = 60 - 2x y una altura h = x (ver diagrama anexo)

Por otro lado volumen de la caja: V = L²h = (60 - x)²x

Expresado como una función => V(x) = (60 - x)²x = 4x³ - 240x² + 3600x

Calculamos V'(x) = 12x² - 480x + 3600

Igualamos V'(x) = 0 y resolvemos. Se obtienen dos soluciones a esta ecuación de 2do grado

x₁ = 30 => se desecha porque hace cero a (60 - x)²

x₂ = 10 => se toma este valor

Con lo que queda demostrada que la sugerencia del amigo es la correcta.