Question

Una pelota de 4 Kg con una velocidad de 4 m/s tiene una colisión elástica frontal con una pelota estacionaria de 2 Kg. ¿Cuáles son las velocidades de las pelotas después de la colisión? respuesta en m/s

Answer 1

Respuesta:

$v_1$ = $\frac{4}{3}$ ms⁻¹,  $v_2$ = $\frac{16}{3}$ ms⁻¹

Explicación:

Momentum

p = mv

Conservación del momento:

$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$

En las colisiones eleásticas además de conservarse el momento, se conserva también la energía cinética ($E_k = \frac{1}{2}mv^{2}$)

$\frac{1}{2} m_1u_1^{2} + \frac{1}{2}m_2u_2^{2} = \frac{1}{2}m_1v_1^{2} + \frac{1}{2}m_2v_2^{2}$  

en donde,

$u$: velocidad inicial [ms⁻¹]

$v$: velocidad final [ms⁻¹]

m: masa [kg]

Con estas dos fórmulas crearemos un sistema de ecuaciones que permita resolver para la velocidad final de ambas pelotas.

Datos:

$m_1$ = 4 kg

$u_1$ = 4  ms⁻¹

Pelota estacionaria

$m_2$ = 2 kg

$u_2$ = 0  ms⁻¹

Proceso:

(Primera ecuación, conservación de momento)

$(4 kg)(4 ms^{-1} ) + (2 kg)(0 ms^{-1} ) = (4 kg)v_1 + (2kg)v_2$

 $(16 kgms^{-1}) + (0 kgms^{-1}) = (4 kg)v_1 + (2kg)v_2$

 $(16 kgms^{-1}) = (4 kg)v_1 + (2kg)v_2$  

(Segunda ecuació, conservación de energía cinética)

$\frac{1}{2} (4kg)(4 ms^{-1} )^{2} + \frac{1}{2}(2 kg)(0 ms^{-1} )^{2} = \frac{1}{2}(4 kg)v_1^{2} + \frac{1}{2}(2kg)v_2^{2}$  

$(2kg)(16 m^{2} s^{-2}) + (1 kg)(0 m^{2} s^{-2} ) = (2 kg)v_1^{2} + (1kg)v_2^{2}$  

$32 J} + 0 J = (2 kg)v_1^{2} + (1kg)v_2^{2}$                              **($J = kgm^{2}s^{-2}$)

$32 J = (2 kg)v_1^{2} + (1kg)v_2^{2}$  

Ahora basta con aplicar culaquier método de resolución de sistema de ecuaciónes:

Ecuación de momentum despejada para velocidad final 2:

 $v_2 = \frac{(16 kgms^{-1}) - (4kg)(v_1)}{2 kg}$

 $v_2 = 8ms^{-1} - 2v_1$

Sustituimos v₂ en en la ecuación de conservación de energía cinética y simplificamos:

$32 J = (2 kg)v_1^{2} + (8ms^{-1} - 2v_1)^{2}$  

$32 J = (2 kg)v_1^{2} + (8ms^{-1} - 2v_1)(8ms^{-1} - 2v_1)$  

*Dejare de usar unidades porque creo es más fácil visualizarlo sin ellas y es demasiado proceso conservarlas dimensionalmente correctas con tanto proceso (Me da flojera).

$32 = 2v_1^{2} + 64 - 16v_1 - 16v_1 + 4_v_1^{2}$  

$32 = 6v_1^{2} - 32v_1 + 64$              (Queda una ecaución cuadrática)  

$0 = 6v_1^{2} - 32v_1 + 32$

$v_1 = \frac{4}{3} ms^{-1}$  

$v_1 = 4 ms^{-1}$

De los dos resultados de la ecuación cuadrática la respuesta es la primera $\frac{4}{3}$ ms⁻¹

Para obtener la velocidad de la pelota 2 solo tenemos que sustituir el resultado anterior en una de las ecuaciones:

 $v_2 = 8ms^{-1} - (2)(\frac{4}{3} ms^{-1} )$

 $v_2 = 8ms^{-1} - \frac{8}{3} ms^{-1}$

 $v_2 = \frac{16}{3} ms^{-1}$