Question

Una lancha comienza a moverse con una aceleración que en m/s^2 , se puede expresar como a=4-2.5(10^-3)v^2, donde v se da en m/s. Determine a)La distancia que debe desplazarse para adquirir una rapidez de 20m/s; b)La máxima velocidad que puede alcanzar la lancha

Answer 1

Veamos. Siendo la aceleración variable se debe recurrir al cálculo integral

La aceleración es la derivad de la velocidad: a = dv/dt; debemos eliminar el tiempo de la ecuación:

a = dv/dt . dx/dx = dx/dt . dv/dx = v dv/dx; despejamos dx:

dx = v dv / a = v dv / (4 - 0,0025 v²)

Se integra x entre 0 y d; integramos v, entre 0 y 20

d = int[v dv / (4 - 0,0025 v²), entre 0 y 20]

Hacemos una sustitución de variables:

u = 4 - 0,0025 v²; du = - 0,0050 v dv; luego v dv = - du / (- 0,0050)

v dv = - 200 du;

Cambio de extremos: v = 0; u = 4; v = 20, u = 3

d = - 200 int[du / u, entre 4 y 3] = - 200 [Ln(u), entre 4 y 3]

d = - 200 [Ln(3) - Ln(4)] = 57,5 m

La velocidad máxima se logra cuando la aceleración es nula.

4 - 0,0025 v² = 0; despejamos v: 

v =√(4 / 0,0025) = 40 m/s

Saludos Herminio