Una granjera tiene 1000 metros de cerca y un campo muy grande. Pone una cerca formando un área rectangular con dimensiones x metros y 500 – x metros. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear?.
Respuestas a la pregunta
El área más grande que puede cercar la granjera con los 1000 metros de cerca es:
62.500 m²
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
- El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
- El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear?
El perímetro máximo del campo a cercar es de 1000 metros.
Siendo;
- ancho = x
- largo = 500 - x
Sustituir en A;
A = (x)(500 - x)
A = 500x - x²
Aplicar primera derivada;
A' = d/dx (500x - x²)
A' = 500 -2x
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/dx(500 - 2x)
A''= -2 ⇒ "Máximo relativo"
Igualar a cero A';
500 - 2x = 0
2x = 500
x = 500/2
x = 250 m
Sustituir;
A = 500(250) - (250)²
A = 62.500 m²
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