una estaca de 1m de altura a 10m de distancia del poste.Luego templan una cinta de 100m ¿cual es la altura del poste?
Respuestas a la pregunta
Tenemos un primer poste de altura 12 pies. Luego, a una distancia x de la base de este poste colocamos la estaca; de esta forma, la longitud de cuerda desde la estaca a la punta del poste vendrá dada por el teorema de pitágoras:
L1² = 12² + x²
Donde L1 es la cuerda usada desde la estaca hasta la punta del poste.
Para el segundo poste, se hace un procedimiento análogo, sólo que debemos tomar la precaución de que la distancia horizontal hasta el poste grande es de (30 - x) pies; debido a que la distancia entre postes es de 30 pies:
L2² = 28² + (30 - x)²
Finalmente la longitud total de la cuerda será la de L1 + L2:
L1 = √(12² + x²)
L2 = √(28² + (30 - x)²)
Por o que Lt será:
Lt = √(12² + x²) + √(28² + (30 - x)²)
Para hallar el máximo de dicha función debemos derivar e igualar a cero:
dLt/dx = x/√(144 + x²) + (x - 30)/√(1684 -60x + x²) = 0
En la resolución se tiene:
x√(1684 -60x + x²) + (x - 30)√(144 + x²) = 0
Al resolver esta ecuación se tiene que
x²(1684 -60x + x²) = (x - 30)²(144 + x²)
1684x² - 60x³ + x^4 = (x² - 60x + 900)(144 + x²)
1684x² - 60x³ + x^4 = 129600+1044x² - 8640x - 60x³ + x^4
Simplificando nos queda:
1684x² = 129600+1044x² - 8640x
640x² + 8640x - 129600 = 0
Esto es una ecuación cuadrática cuya raíces son:
x = (-8640 ± √(8640² - 4∙640 ∙129600)) / 640∙2
Es decir:
x1 = 9 pies
x2 = -45/2 pies
Es evidente que no hay distancias negativas, por lo que la solución es x1 = 9 pies.
La cantidad mínima de cuerda se obtiene cuando evaluamos x = 9 en la función original, lo cual nos da:
Lt = √(12² + 9²) + √(28² + (30 - 9)²)
Lt = √225 + √1225
Lt = 15 +35
Lt = 50 pies