Question

Una esfera hueca esta fabricada de modo que una de sus mitades es de plata, de 1,500 mm de espesor y la otra mitad es de oro, con el mismo espesor. El interior de la esfera esta lleno con 47,886 mg de oxígeno molecular (O2). La densidad de la esfera es 5,810 g/mL. Determine el radio de la esfera.​

Answer 1

El radio de la esfera es de aproximadamente 1,15cm.

Explicación:

La masa de la esfera, sabiendo que la mitad es de plata y la mitad es de oro es:

$m=V_{Au}.\delta_{Au}+V_{Ag}.\delta_{Ag}+m_{O_2}\\\\m=\frac{2}{3}\pi.(R^3-r^3)\delta_{Au}+\frac{2}{3}\pi.(R^3-r^3)\delta_{Ag}+m_{O_2}$

Donde R es el radio exterior y r es el radio interior de la esfera, y $\delta$ son las densidades de cada material. A su vez la densidad de la esfera es:

$\delta=\frac{m}{v}=\frac{\frac{2}{3}\pi.(R^3-r^3)\delta_{Au}+\frac{2}{3}\pi.(R^3-r^3)\delta_{Ag}+m_{O_2}}{\frac{2}{3}\pi.R^3+\frac{2}{3}\pi.R^3}\\\\r=R-1,5mm\\\\\delta=\frac{m}{v}=\frac{\frac{2}{3}\pi.(R^3-(R-1,5)^3)\delta_{Au}+\frac{2}{3}\pi.(R^3-(R-1,5)^3)\delta_{Ag}+m_{O_2}}{\frac{2}{3}\pi.R^3+\frac{2}{3}\pi.R^3}$

Podemos tomar una aproximación suponiendo que la cáscara semi-esférica se estira formando un plano cuya área es la de la semi-esfera:

$\frac{2}{3}\pi.(R^3-(R-1,5)^3)\simeq 2\pi.R^2.1,5mm$

Y la densidad de la esfera queda:

$\delta=\frac{m}{v}=\frac{2\pi.R^2.1,5mm\delta_{Au}+2\pi.R^2.1,5mm\delta_{Ag}+m_{O_2}}{\frac{4}{3}\pi.R^3}\\\\\\\frac{4}{3}\pi.R^3\delta=2\pi.R^2.1,5mm\delta_{Au}+2\pi.R^2.1,5mm\delta_{Ag}+m_{O_2}$

Como la densidad está en gramos por mililitro y 1 mililitro equivale a 1 centímetro cúbico, debemos expresar el espesor en centímetros y queda:

$\frac{4}{3}\pi.R^3\delta=2\pi.R^2.0,15cm\delta_{Au}+2\pi.R^2.0,15cm\delta_{Ag}+m_{O_2}\\\\24,34.R^3=9,896.R^2+18,19R^2+0,047886g\\\\24,34.R^3=28,086R^2+0,047886g\\\\24,34.R^3-28,086R^2-0,047886g=0\\\\24,34.R^3\simeq28,086R^2\\\\24,34R=28,086\\\\R=1,15cm$