Una empresa tiene dos depósitos de agua, A y B. Todos los días los empleados sacan cierta cantidad de agua de cada uno. Del depósito A se extrajo 5 litros el primer día; 10, el segundo; 20, el tercero y así sucesivamente. Del depósito B se extrajo 2 litros el primer día; 4, el segundo; 8, el tercero y así sucesivamente. El último día se extrajeron del depósito A 96 litros más que del depósito B. ¿Cuántos litros de agua se extrajeron en total, de cada depósito?
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- Sea n el número de días, la función que define la cantidad de agua que los empleados sacan del depósito A (gA) es:
gA = 5 x 2⁽ⁿ⁻¹⁾
- Así , cuando n= 1 ⇒ gA = 5 x 2⁽¹⁻¹⁾ = 5 x 2⁰ = 5
n =2 ⇒ gA = 5 x 2⁽²⁻¹⁾ = 5 x 2¹ = 10
n =3 ⇒ gA = 5 x 2⁽³⁻¹) = 5 x 2² = 20
- De igual forma, para el depósito B la cantidad de agua que los empleados extraen (gB) sigue la siguiente relación:
gB = 2ⁿ
- Cuando n =1 ⇒ gB = 2¹ = 2
n =2 ⇒ gB = 2² = 4
n =3 ⇒ gB = 2³ = 8
- El último día cuando se cumpla que la cantidad de agua que se extraiga del deposito A sea 96 litros más que lo que se extrae del depósito B, entonces se determinan las cantidades de agua de los depósitos. Es decir:
gA +96 litros = gB ⇒ gA - gB = 96 litros
- Esta relación anterior se cumple el día que:
5 x 2⁽ⁿ⁻¹⁾ - 2ⁿ = 96
- Es decir, cuando n = 6, las cantidades que se extraen de cada deposito son:
5 x 2⁽⁶⁻¹⁾ - 2⁶ = 96
5 x 2⁵ - 2⁶ = 96
5 x 32 - 64 = 96
160 - 64 = 96
Es decir, el sexto día (n=6) la cantidad de agua que se extrae es de 160 litros del depósito A (gA = 160 litros) y del depósito B se extraen 64 litros de agua (gB = 64 litros) siendo la diferencia igual a 96 litros (gA - gB = 96 litros), tal como se muestra en la tabla anexa.
gA = 5 x 2⁽ⁿ⁻¹⁾
- Así , cuando n= 1 ⇒ gA = 5 x 2⁽¹⁻¹⁾ = 5 x 2⁰ = 5
n =2 ⇒ gA = 5 x 2⁽²⁻¹⁾ = 5 x 2¹ = 10
n =3 ⇒ gA = 5 x 2⁽³⁻¹) = 5 x 2² = 20
- De igual forma, para el depósito B la cantidad de agua que los empleados extraen (gB) sigue la siguiente relación:
gB = 2ⁿ
- Cuando n =1 ⇒ gB = 2¹ = 2
n =2 ⇒ gB = 2² = 4
n =3 ⇒ gB = 2³ = 8
- El último día cuando se cumpla que la cantidad de agua que se extraiga del deposito A sea 96 litros más que lo que se extrae del depósito B, entonces se determinan las cantidades de agua de los depósitos. Es decir:
gA +96 litros = gB ⇒ gA - gB = 96 litros
- Esta relación anterior se cumple el día que:
5 x 2⁽ⁿ⁻¹⁾ - 2ⁿ = 96
- Es decir, cuando n = 6, las cantidades que se extraen de cada deposito son:
5 x 2⁽⁶⁻¹⁾ - 2⁶ = 96
5 x 2⁵ - 2⁶ = 96
5 x 32 - 64 = 96
160 - 64 = 96
Es decir, el sexto día (n=6) la cantidad de agua que se extrae es de 160 litros del depósito A (gA = 160 litros) y del depósito B se extraen 64 litros de agua (gB = 64 litros) siendo la diferencia igual a 96 litros (gA - gB = 96 litros), tal como se muestra en la tabla anexa.
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