Question

Una empresa fabrica estantes para computadores personales. Para cierto modelo, el costo total c (en miles de dólares) cuando se producen q cientos de estantes, esta dado por: c= 2q3-9q2+ 12q +20. La empresa tiene actualmente capacidad de producir entre 75 y 600 estantes por semana.
Determine:
a) el número de estantes que debe producir por semana para minimizar el costo total

Answer 1

a) El número de estantes que se debe producir la empresa para minimizar el costo total de dichos estantes es:

100

¿Qué son los costos?

Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

C = Cf + Cv

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es el número de estantes que debe producir por semana para minimizar el costo total?

Siendo la ecuación costo total:

C(q) = 2q³- 9q² + 12q + 20

Aplicar primera derivada;

C'(q) = d/dq(2q³- 9q² + 12q + 20)

C'(q) = 6q² - 18q + 12

Aplicar segunda derivada;

C''(q) = d/dq(6q² - 18q + 12)

C''(q) = 12q - 18   ⇒  "Mínimo relativo"

Igualar a cero la primera derivada;

6q² - 18q + 12 = 0

Aplicar la resolvente;

$q_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Siendo;

• a = 6
• b = -18
• c = 12

Sustituir;

$q_{1,2}=\frac{18\pm\sqrt{18^{2}-4(6)(12)}}{2(6)}\\\\q_{1,2}=\frac{18\pm\sqrt{36}}{12}\\\\q_{1,2}=\frac{18\pm6}{12}$

q₁ = 200

q₂ = 100

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