Una cantidad es repartida en forma directamente proporcional a 3 números y se obtiene: 96, 32 y 24 ¿Cuál será la mayor de las partes si el reparto se hubiera hecho en formainversamente proporcional a los mismos números?
Respuestas a la pregunta
Una cantidad es repartida en forma directamente proporcional a 3 números y se obtiene: 96, 32 y 24
Proporcionalidad directa e inversa:
Reparo directamente proporcional
a/96 = b/32 = d/24 = k
a = 96k
b= 32k
c = 24k
x = 96k+32k+24k/4
4x = 152k
k = 38x
Reparto inversamente proporcional:
Al que tiene el numero menor le toca la mayor parte
Determinamos el mínimo común múltiplo de los números:
Descomponiendo los números en sus factores primos:
96= 2⁵*3
32 = 2⁵
24 = 2³*3
mcm(96,32,24) = 96
a = 96/96k
b = 96/32k
c = 96/24k
¿Cuál será la mayor de las partes si el reparto se hubiera hecho en forma inversamente proporcional a los mismos números?
La mayor de las partes es 1/k
Respuesta:
TEMA: Ejercicios de razones y proporciones.
Datos del problema:
Números obtenidos: 96, 32, 24.
La cantidad repartida será igual a la suma de los números obtenidos:
\begin{gathered}\textbf{Cantidad repartida}=96+32+24\\\textbf{Cantidad repartida}=152\end{gathered}
Cantidad repartida=96+32+24Cantidad repartida=152
PARTE 1: Tenemos una repartición directamente proporcional, en donde debemos hallar la razón correspondiente de cada número. Entonces buscamos una constante de proporcionalidad, que será el Máximo Comun Divisor de los tres números obtenidos:
\begin{gathered}\boxed{\textbf{MCD}}\Longrightarrow\qquad\begin{matrix} 96\\48\\24\\12\\6\\3\\1 \end{matrix}\begin{vmatrix} 2\\2\\2\\2\\2\\3\\\hfill \end{matrix}\qquad\begin{matrix} 32\\16\\8\\4\\2\\1 \end{matrix}\begin{vmatrix} 2\\2\\2\\2\\2\\\hfill \end{matrix}\qquad\begin{matrix} 24\\12\\6\\3\\1 \end{matrix}\begin{vmatrix} 2\\2\\2\\3\\\hfill\end{matrix}\end{gathered}
\textbf{Constante}=2\times{2\times{2}}=2^3=8Constante=2×2×2=23=8
Ahora calculamos las razones correspondientes. Entonces dividimos los números obtenidos para la constante de proporcionalidad:
\begin{gathered}96/8=12\quad\to\textbf{Raz\'on del primer n\'umero.}\\32/8=4\quad\to\hspace{5}\textbf{Raz\'on del segundo n\'umero.}\\24/8=3\quad\to\hspace{5}\textbf{Raz\'on del tercer n\'umero.}\end{gathered}
PARTE 2: Las razones son 3, 4 y 12. Ahora repartimos los 152 de forma inversamente proporcional, para lo cual planteas otra constante (K):
K/3: La parte mayor.
K/4: La parte intermedia.
K/12: La parte menor.
Ahora sumamos e igualamos las expresiones para armar nuestra ecuación:
\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{12}=1523k+4k+12k=152
Mínimo común multiplo (MCM) 12: Multiplicas toda la ecuación por 12 para cancelar los denominadores:
\begin{gathered}12\left(\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{12}=152\right)\\ \\ \\\dfrac{12k}{3}+\dfrac{12k}{4}+\dfrac{12k}{12}=12(152)\\ \\ \\\dfrac{\not{12k}}{\not{3}}+\dfrac{\not{12k}}{\not{4}}+\dfrac{\not{12k}}{\not{12}}=1824\quad\Longrightarrow\textbf{Simplificas}\\ \\ \\4k+3k+k=1824\\ \\8k=1824\\ \\k=\dfrac{1824}{8}\\ \\k=228\quad\Longrightarrow\textbf{Constante de proporcionalidad.}\end{gathered}12(3k+4k+12k=152)312k+412k+1212k=12(152)312k+412k+1212k=1824⟹Simplificas4k+3k+k=18248k=1824k=81824k=228⟹Constante de proporcionalidad.
Ya tenemos la constante de proporcionalidad, entonces despejamos:
\begin{gathered}\boldsymbol{\dfrac{k}{3}\to}\dfrac{228}{3}=76\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{La parte mayor.}}\\ \\ \\\boldsymbol{\dfrac{k}{4}\to}\dfrac{228}{4}=57\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{La parte intermedia.}}\\ \\ \\\boldsymbol{\dfrac{k}{12}\to}\dfrac{228}{12}=19\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{La parte menor.}}\end{gathered}3k→3228=76⟹La parte mayor.4k→4228=57⟹La parte intermedia.12k→12228=19⟹La parte menor.
Solución: La parte mayor es el 76.
\begin{gathered}\textbf{COMPROBACI\'ON:}\ \text{La suma de las partes deber\'a ser igual al total}\\\text{repartido. Entonces comprobamos:}\\76+57+19=152\\152=152\ \checkmark\\\textbf{MUCHA SUERTE..!!}\end{gathered}COMPROBACIOˊN: La suma de las partes deberaˊ ser igual al totalrepartido. Entonces comprobamos:76+57+19=152152=152
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