Un vendedor de automóviles recibe semanalmente un salario base de 500 dólares y una cantidad X en cientos de dólares, que corresponda a una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad definida por:
P(X=x)=(kx+1)/3 para X=0,1,2,3,4,5.
Determina el valor de k para que P(X=x) sea función de probabilidad.
Halle la función de distribución acumulada de X.
Determine el salario esperado para el vendedor e interprete ese valor.
Respuestas a la pregunta
La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.
f(x) Si x es 0≤x≤2
Y k debe ser igual a 1
Explicación paso a paso:
Datos:
Salario Base = 500 dolares
x: bonificacion variable
Una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad definida por:
P(X=x)=(kx+1)/3
El valor de k para que P(X=x) sea función de probabilidad.
Función de probabilidad es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que esta lo asuma, por lo tanto k debe ser igual a 1
La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.
f(x) Si x es 0≤x≤2
Solucionando el planteamiento tenemos:
a) El valor de k es -1/5
b) La función de distribución acumulada de X es:
X 0 1 2 3 4 5
P(X=x) 1/3 4/15 1/5 2/15 1/15 0
c) El salario esperado para el vendedor es 633,33$.
◘Desarrollo:
Para que P(X=x) sea función de probabilidad debe cumplirse las siguientes propiedades:
1) 0≤P(X=x)≤1 ∀ X∈ [0,1]
2) ∑P(X=x) = 1
Por tanto para la función de probabilidad definida por P(X=x)=(kx+1)/3 para X=0,1,2,3,4,5, tenemos:
∑P(X=x) = 1
Multiplicamos * 3:
Restamos 6 a ambos lados:
15k+6-6=3-6
15k=-3
Dividimos entre 15 y simplificamos:
La función de distribución acumulada de X es:
P(X=x)=(kx+1)/3
P(X=0)=(-1/5*0+1)/3
P(X=0)=1/3
P(X=1)=(-1/5*1+1)/3
P(X=1)=4/15
P(X=2)=(-1/5*2+1)/3
P(X=2)=1/5
P(X=3)=(-1/5*3+1)/3
P(X=3)=2/15
P(X=4)=(-1/5*4+1)/3
P(X=4)=1/15
P(X=5)=(-1/5*5+1)/3
P(X=5)=0
X 0 1 2 3 4 5
P(X=x) 1/3 4/15 1/5 2/15 1/15 0
Salario esperado del vendedor: 500+ E(X)
Esperanza matemática:
E(X) = ∑Xi*P(X=Xi)
E(X) = (0*1/3)+(1*4/15)+(2*1/5)+(3*2/15)+(4*1/15)+(5*0)
E(X)= 0+4/15+2/5+2/5+4/15+0
E(X)= 4/3
500+ 4/3*100 = 633,33$