Un solido se forma juntando dos emisferios a los extremos de un cilindro circular recto y con emisferios nos referimos a cada una de las dos mitades de una esfera .el volumen total del solido es de 14cm. Encuentra el radio que produce el área superficial minima
Respuestas a la pregunta
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a cm.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área superficial del sólido. Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la esfera; la función objetivo viene dada por:
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:
de aqui
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A' = 0 ⇒ ⇒
⇒
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
⇒ es un mínimo de la función A.