Question

Un solido se forma juntando dos emisferios a los extremos de un cilindro circular recto y con emisferios nos referimos a cada una de las dos mitades de una esfera .el volumen total del solido es de 14cm. Encuentra el radio que produce el área superficial minima

Answer 1

El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a $\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$ cm.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área superficial del sólido. Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la esfera; la función objetivo viene dada por:

$A=2\pi rh+4\pi r^{2}$

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:

$V=\pi r^{2}h+\frac{4}{3}\pi r^{3}=14$ de aqui  

$h=\frac{14-\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\pi r^{2}}$ por tanto la función objetivo es

$A=\frac{28}{r} +\frac{8}{3} \pi r^{2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'=-\frac{28}{r^{2}} +\frac{16}{3} \pi r$

A' = 0 ⇒ $-\frac{28}{r^{2}} +\frac{16}{3} \pi r=0$ ⇒  

$-28+\frac{16}{3} \pir^{3}=0$ ⇒ $r=\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=\frac{56}{r^{3}} +\frac{16}{3} \pi$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }}>0$ ⇒ $r=\sqrt[3]{\frac{21}{4\pi} }$ es un mínimo de la función A.