Question

un solenoide toroidal tiene 500 espiras areas de seccion transversal de 6.25 cm cuadrados, y radio medio de 4.00 cm. a) calcula la autoinductancia de la bobina. b) si la corriente disminuye de manera uniforme de 5.00 Amperes a 2.00 Amperes en 3.00 ms. calcule la fem autoinducida en la bobina. c) la corriente se dirige de la terminal a de la bobina a la b

Answer 1

Este inductor tiene una autoinductancia de 64,7 uH, si lo recorre una corriente que sigue la función rampa decreciente descripta, se le autoinduce una tensión de 64,7mV.

Explicación:

Para hallar el campo magnético del toroide aplicamos la Ley de Ampere, tomando como curva cerrada una circunferencia concéntrica con el toroide.

Fuera del toroide el campo magnético es cero ya que siendo R el radio del toroide, si r<R, la curva no encierra ninguna corriente mientras que si r>R, la sumatoria de corrientes es 0 (ya que cada espira atraviesa dos veces la curva cerrada transportando corrientes iguales y opuestas) por lo que también el campo magnético es cero. Con lo cual solo hay campo magnético dentro del núcleo toroidal. Dentro del toroide tenemos:

$\int\limits^{}_{C} {B} \, dl =\mu_0 Ni$

Si consideramos uniforme el campo magnético en toda la curva cerrada tenemos:

$B.2\pi r =\mu_0 Ni\\\\B=\frac{\mu Ni}{2\pi r}$

Hay que tener en cuenta que el campo magnético varía en función de la distancia al centro del toroide, si consideramos que el toroide tiene sección cuadrada de 2,5 cm de lado (lo que da 6,25 centímetros cuadrados de sección transversal) queda, siendo l la longitud del lado de la sección del toroide:

$\phi=\int\limits^{}_{A} {B} \, dA \\\\dA=l.dr\\\phi=\int\limits^{4+\frac{l}{2}}_{4-\frac{l}{2}} {\frac{\mu_0 Ni l}{2\pi r}} \, dr$

Los límites de integración se han tomado así porque r está tomado desde el centro del toroide y 4cm es el radio medio.

$\phi=\int\limits^{4+\frac{l}{2}}_{4-\frac{l}{2}} {\frac{\mu_0 Ni l}{2\pi r}} \, dr\\ \\\phi=\frac{\mu_0 Ni}{2\pi}ln(\frac{4+\frac{l}{2}}{4-\frac{l}{2}})$

a) La autoinductancia de la bobina está definida como el cociente entre el flujo magnético y la corriente:

$L=\frac{\phi}{i}=\frac{\mu_0 N}{2\pi}ln(\frac{4+\frac{l}{2}}{4-\frac{l}{2}})$

Reemplazando valores queda:

$\mu_0=4\pi x10^{-7}\\N=500\\l=2,5cm\\\\L=\frac{4\pi x10^{-7}.500}{2\pi}ln(\frac{4+\frac{2,5}{2}}{4-\frac{2,5}{2}})\\\\L=64,7\mu H$

b) Si la corriente disminuye de manera uniforme de 5A a 2A en 3 milisegundos, se interpreta que sigue una rampa decreciente. Aplicando la ley de Faraday queda:

$E=\frac{d\phi}{dt}\\\phi=Li=> E=L\frac{di}{dt}\\\\\frac{di}{dt}=\frac{I_f-I_i}{\Delta T}=\frac{5A-2A}{0,003s}=-1000\frac{A}{s}\\\\E=64,7\mu H.(-1000\frac{A}{s})=-64,7mV$

c) Si la corriente fluye de la terminal A a la terminal B, la tensión autoinducida tendrá una polaridad tal que B será el positivo y A el negativo.