Question

Un proyectil es lanzado con un ángulo de 30° y una velocidad inicial de 20 m/s a) ¿Cuál es el punto más alto de su trayectoria? b) ¿Cuál es su alcance horizontal? c) ¿Cuánto tiempo está en el aire?​

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza el proyectil es de 5 metros

b) El alcance horizontal del proyectil es de 34.64 metros

c) El tiempo de permanencia en el aire del proyectil es de 2 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Altura máxima

La ecuación de la altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (30^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{1}{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{ s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{400}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100 }{20 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 5\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 5 metros

b) Alcance horizontal o alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 30 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (60 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 200\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200 \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 346.41016151 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =34.6410\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =34.64 \ metros }}$

El alcance horizontal $\bold{x_{MAX} }$ del proyectil es de 34.64 metros

c) Tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (30^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{1}{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{1}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{40}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{20 }{10 } \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil es de 2 segundos

Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento