Question

Un prisma de vidrio tiene un ángulo en la cima de medida α y un ángulo de desviación media ξ. El índice de refracción, n, del prisma, es igual a (p.34): n = sen(α+ξ/2)/senα/2 253. Demuestra que el índice de refracción es equivalente a: n = √(1-cosαcosξ+senαsenξ/1-cosα Para n > 0

Answer 1

Se demuestra mediante identidades trigonométricas que n = sen(α+ξ/2)/senα/2 es equivalente a n = √(1-cosαcosξ+senαsenξ/1-cosα Para n > 0

Explicación:

Para hacer está demostración partimos de la expresión

$n = \frac{sen(\frac{\alpha+\beta}{2})}{sen\frac{\alpha}{2} }$

Se utiliza la identidad trigonométrica de seno de α/2:

$sen\frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{1 - cos\alpha }{2}}$

en el numerador α =  α + β, quedando

$n = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos(\alpha+\beta)}{2}}}{sen\frac{\alpha}{2}}$

y en denominador α = α, quedando

$n = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos(\alpha+\beta)}{2}}}{\sqrt{\frac{1 - cos(\alpha)}{2}}}$

Simplificando √2, nos queda

$n = \sqrt{\frac{1 - cos(\alpha+\beta)}{1 - cos(\alpha)}$

Se utiliza la identidad trigonométrica de suma de ángulos

cos(α+β) = cosα*cosβ - senα*senβ

Sustituyendo en n, nos queda:

$n = \sqrt{\frac{1 - cos\alpha*cos\beta - sen\alpha*sen\beta}{1 - cos(\alpha)}$

Con lo cual queda demostrado que el índice de refracción es equivalente a n = √(1-cosαcosξ+senαsenξ/1-cosα Para n > 0