Question

Un niño de estatura de 1,5 m; está ubicada a 6 m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿cuál es la altura de la torre?.

Answer 1

La altura de la torre es de 9.5 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la torre junto con el suelo -donde esta se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC que equivale a una porción de la altura de la torre y llamamos a esa distancia "x" la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado-, el lado AB representa la línea visual desde el punto donde se encuentran los ojos del observador hasta el extremo superior de la torre; la cual es vista con un ángulo de elevación de 53° y finalmente el lado BC que es una proyección del plano del suelo -donde esta distancia coincide con el punto desde donde se encuentra el niño observador hasta la base de la torre-

Donde se pide hallar la altura (h) de la torre

Luego debemos dividir a la altura h de la torre en dos partes: la distancia "x", -la cual se encuentra por encima de los ojos del niño observador y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la estatura de la persona observadora

La sumatoria de la distancia "x" y la estatura de la persona nos darán la altura h de la torre

Conocemos la distancia desde el niño hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 53°

• Distancia del niño hasta la base de la torre = 6 metros

• Ángulo de elevación = 53°

• Debemos hallar la distancia "x"

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde el niño observador hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 53° y debemos hallar la distancia "x" -porción de la altura de la torre-, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x  -porción de la altura de la torre-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{ \alpha = 53^o }$

Planteamos:

$\boxed { \bold { tan (53^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan (53^o) = \frac{distancia \ x }{ distancia \ a \ base \ torre } }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x = distancia \ a \ base \ torre \ . \ tan (53^o) }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x = 6\ metros\ . \ tan (53^o) }}$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es de }\bold{ \frac{4}{3} }$

$\boxed { \bold {distancia \ x = 6\ metros\ . \ \frac{4}{3} }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x = \frac{24}{3} \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {distancia \ x =8 \ metros }}$

Por tanto la distancia x  -porción de la altura de la torre- es de 8 metros

Determinamos la altura h de la torre

$\boxed { \bold { Altura \ de \ la \ Torre\ ( h)= distancia \ x +estatura \ persona}}$

$\boxed { \bold { Altura \ de \ la \ Torre\ ( h) = 8 \ metros + 1.5 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { Altura \ de \ la \ Torre\ ( h) = 9.5 \ metros }}$

Luego la altura de la torre es de 9.5 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto