Question

Un Litotriptor para desintegrar cálculos renales por medio de ondas de choque tiene su centro en el punto C(1,-3), su foco en F1(-2,-3) y semieje menor igual a 4 unidades.

Determina:

A) La ecuación ordinaria de la elipse que sirve para generar el Litotriptor
B) Transforma la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse
C) La longitud del semieje mayor
D) La longitud del semieje menor
E) La longitud del semieje focal
F) Las coordenadas de los vértices

Answer 1

A) La ecuación ordinaria de la elipse que sirve para generar el Litotriptor

Por los datos que te dan, se trata de una elipse horizontal, con centro fuera del origen:

Centro C = (1, -3)  Por comparación obtenemos los valores de h, k
           C = (h, k)
h = 1
k = -3
Para obtener el valor de b, lo vamos a obtener a partir del dato:
longitud del semieje menor, igual a 4 unidades
La fórmula nos dice que para obtener este valor es:
2(b) = longitud del semieje menor. Sustituir datos:
2(b) = 4    despejamos b
  b = 4/2 = 2
  b = 2

Los valores de tus focos
F = (-2, -3)   Por semejanza comparando con la fórmula
F = (h - c, k)  Donde ya sabemos que h = 1  y k = -3
F = 1 - c = -2  Despejar c
         -c = -2 -1   El 1 es positivo, pasa al otro lado de la = como negativo.
         -c = -3  Intercambiamos lugares para dejar c como positivo:
          c = 3
Comprobación:
F = (h - c, k)
F = (1 - 3, -3)
F = (-2; -3)     
tu otro foco va a tener las siguientes coordenadas;
F' = (h + c, k)
F' = (1 + 3, -3)
F' = (4. -3)

Tenemos el valor de:
c = 3  (Es el valor para los focos, no confundir con la C, del centro de la elipse.
b = 2
a = ?
a² = b² + c²  Sustituir valores
a² = (2)² + (3)² 
a² = 4 + 9
a² = 13  Aqui ya tenemos el valor de a elevada al cuadrado
a = √13 
a = 3.6  Este es el valor solo de a
La ecuación ordinaria es así

Elipse horizontal con centro fuera del origen:

 (x-h)² + (y-k)² = 1
   a²         b²

(x - 1)² + (y + 3)² = 1
   13            4

B) Transformar la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse:

4(x - 1)² + 13(y + 3)² = 1(52)    52 es el resultado de multiplicar 4 por 13
Desarrollas los binomios al cuadrado
4(x² - 2x + 1) + 13(y² + 6y + 9) = 52
Destruyes parentesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
4x² - 8x + 4 + 13y² + 78y + 117 = 52  
Acomodas conforme a la ecuación de las cónicas:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

4x² + 13y² - 8x + 78y + 4 + 117 - 52 = 0  (el 52 positivo, pasa al otro lado de la igualdad con signo contrario)
operas los términos independientes, es decir los que no tienen letras:
4x² + 13y² - 8x + 78y + 69 = 0
Esta es tu ecuación general.

C) Longitud del semieje mayor: = 7.2 Unidades
2(a) = Longitud del eje mayor
Recuerda que a = 3.6
2(3.6) = 7.2

D) Longitud del semieje menor.  = 4 unidades
Nota: La respuesta ya te la dieron en la pregunta:
"...y semieje menor igual a 4 unidades"
2(b) = 
2(2) = 4

E) Longitud del semieje focal = 6 unidades 
2(c)
2(3) = 6 Unidades

F) Las coordenadas de los vértices:
V₁ = (h + a, k)      V₂ = (h - a, k)
V₁ = (1 + 3.6, -3)  V₂ = (1 - 3.6, -3) 
V₁ = (4.6,  -3)       V₂ = (-2.6,  - 3) Vertices del semieje mayor

B₁ = (h, k + b)    B₂ = (h, k - b)
B₁ = (1, -3 + 2)   B₂ = (1, -3 - 2)
B₁ = (1,  -1)        B₂ = (1,  - 5)  Vértices del semieje menor.

No te preguntan por la longitud del lado recto, ni su excentricidad, pero te las voy a dar

Lado Recto
LR = 2b² = 2(2)² = 2(4)  =   8   = 2.22
         a       3.6      3.6     3.6
Tu lado recto de cada foco va abrir 1.1. Este valor 2.22, lo divides entre 2)

Excentricidad:
e =  c  =   3   = 0.8333
       a      3.6 

Este es el grado de achatamiento que tendrá tu elipse