Question

Un ingeniero desea construir un sistema de forma cilindrica al interior de una cavidad conica cuya base es el disco de centro 0 y cuyo radio mide 4m.El radio del cilindro es OM, donde el punto M desplaza desde 0 hasta A.

Si OM=x y V es la funcion que a cada x asocia el volumen del cilindro, determine el dominio de V.

Answer 1

El dominio de la función volumen es $[0;A]/ A\leq 4$

Explicación paso a paso:

Si 'x' es el radio del cilindro y está dentro de una cavidad cónica tenemos para el mismo una altura 'h'. Si la altura del cono es H tenemos:

$tan(\alpha)=\frac{H}{4}\\\\tan(\alpha)=\frac{h}{4-x}\\\\\frac{H}{4}=\frac{h}{4-x}\\\\h=H\frac{4-x}{4}$

El volumen del cilindro es $V=\pi.r^2.h$, si reemplazamos la altura que acabamos de hallar queda:

$V=\pi.x^2\frac{4-x}{4}H=\frac{\pi.H}{4}x^2(4-x)$

Por un lado x tiene que ser positivo para tener sentido físico y el valor de x que es OM puede ir de 0 hasta A. Con lo cual el dominio de V está entre 0 y A. A tiene que ser menor o igual que 4 para que tenga sentido físico la solución.