Question

Un hotel que tiene 80 habitaciones puede rentarlas todas si el precio de alquiler por día es de $300, pero ha encontrado que por cada $6 de aumento en el precio de alquiler tendrá una habitación vacía. Determine el número de habitaciones vacías cuando el ingreso es máximo

Answer 1

Pasos: construimos una ecuación que determinen los ingresos del hotel, dependiendo de la cantidad de habitaciones vendidas.

El total de habitaciones son 80.

Si el precio es $300 se alquilaran las 80 habitaciones y el ingreso sera 80*$300

Si el precio es de $306 se alquilaran 79 habitaciones y el ingreso era $306*79

Si el precio es de$312 se alquilaran 78 habitaciones y el ingreso sera $312*78

En general, si llamamos P al precio Y(P) el ingreso, entonces

Y(P) = P*número de habitaciones

Pero números de habitaciones, es igual a 80, menos la cantidad de habitaciones resultantes del aumento. $\frac{P-300}{6}$

entonces:

$Y(P)= P* (80-(\frac{P-300}{6} ))$

$Y(P)= 80P-\frac{P^{2}}{6} +50P$

$Y(P)=-\frac{P^{2}}{6} +130P$

Derivamos e igualamos a cero:

$Y'(P)=-\frac{P}{3} +130= 0$

$\frac{P}{3} = 130$

$P= 130*3 = 390$

Hallamos la segunda derivada.

$Y''(P)=-\frac{1}{3}$

Como la segunda derivada es negativa por criterio de la segunda derivada el punto es encontrado es máximo.

El ingreso máximo sera cuando el precio es P= 390, y las habitaciones alquiladas:  $80-\frac{390-300}{6} = 80- 15= 65$