Question

Un grupo de estudiantes de ingeniería industrial, necesitan construir un envase cilíndrico con tapa para almacenar residuos lácteos, el cual debe contener un volumen específico de 6m^3 . Calcule cuáles deben ser las dimensiones, de altura del cilindro y radio de las tapas, que minimizan el área total.

Answer 1

Para obtimizar debemos hallar una ecuacion en funcion de r o de h y derivarla. Obtuvimos que r=0.98m y h=1.9649m

1. El volumen de un cilindro es $\pi *r^{2} *h$.
2. El area de la superficie curva es $A_{L}=2\pi*r*h$
3. El area de la base es $\pi r^{2}$, son dos tapas de estas en una lata.
4. De la ecuacion 1, donde el volumen es 6 despejamos h quedando h=$\frac{6}{\pi r^{2} }$.
5. Aplicamos el valor de h en la ecuacion del Area total=$2\pi *r^{2} +2\pi*r*h=2\pi*r^{2}+\frac{12}{r}$
6. Solo queda en funcion de r, entonces para optimizar se deriva.
7. La derivada de A queda $4\pi r-\frac{12}{r^{2} }$
8. Igualamos a 0 la derivada para hallar el punto minimo y despejamos r:$4\pi r-\frac{12}{r^{2} }=0, entonces,r=\sqrt[3]{\frac{3}{\pi } } =0.9847m$
9. Hallamos h segun la ecuacion del punto 4, h nos da 1.9649m