Un granjero dispone de 200 metros de cerca para cercar dos corrales rectangulares adyacentes. ¿que dimensiones haran que el area encerrada sea maxima .
Respuestas a la pregunta
La base total de los es x.
La altura de cada uno es y
Hay un rectángulo total con x de base y tres alturas y
El perímetro es 200 m = 2 x + 3 y; de modo que y = (200 - 2 x) / 3
El área es A = x y = x (200 - 2 x) / 3 = 200 x /3 - 2 x² / 3
Una función es máxima si su primera derivada es nula y la segunda es negativa en el punto crítico
Derivamos A' = 200 / 3 - 4 x / 3 = 0; x = 50 m
La segunda derivada es A'' = - 4/3, negativa, hay un máximo en x = 50
y = (200 - 2 . 50) / 3 = 100/3 = 33,3 m
El área máxima es A = 50 . 33,3 = 1666 m²
Pero cada uno de los dos rectángulos tienen una base comprendida en 0 y 50 m y altura 33,3 m. Hay por lo tanto infinitas soluciones.
Podemos elegir dos rectángulos iguales adheridos de 25 m de base cada uno y 33, m de altura.
Se adjunta gráfico de la función área.
Saludos Herminio
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Las dimensiones necesarias para que el área encerrada sea máxima son: 50 metros en los lados horizontales y 33.33 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área de los corrales. Si llamamos y la longitud del lado vertical y de la división de los corrales y x la longitud del lado horizontal; la función objetivo viene dada por:
Área = A = xy m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud total de cerca (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
x = 50 es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
x = 50 es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de y:
Las dimensiones necesarias para que el área encerrada sea máxima son: 50 metros en los lados horizontales y 33.33 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.
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