Question

un granjero decide criar patos y compra una cierta cantidad entre machos y hembras. se empiezan a reproducir y la poblacion crece en funcion del tiempo este crecimiento esta dado por la formula p(t)=2t² +20t+22,en donde p es el numero de patos y los t los años transcurridos a)¡cuantos patos compro?b)¿cuando se da la mayor poblacion de patos y cuantos patos son?c)cuando hay 184 patos?d) ¿en algun momento se extinguen? si es asi¿cuando?

Answer 1

Datos
Un granjero decide criar patos y compra una cierta cantidad entre machos y hembras. se empiezan a reproducir y la poblacion crece en funcion del tiempo este crecimiento esta dado por la formula p(t)=2t² +20t+22, en donde p es el numero de patos y los t los años transcurridos

Resolver
a)¡cuantos patos compro?b)¿cuando se da la mayor poblacion de patos y cuantos patos son?c)cuando hay 184 patos?d) ¿en algun momento se extinguen? si es asi¿cuando?

Solución
El número de patos que compró está determinado si colocamos un t=0, sustituyendo estos valores obtenemos que compró 22 patos.

El número de patos mayor no puede ser determinado ya que esta función se extiende hasta el infinito. Por lo que tampoco se extinguen porque nunca toca el eje x, es decir, nunca hay cero patos.

Para saber cuando hay 184 patos.

184 = 2t² +20t+22
2t² +20t-162 = 0
El valor de t que resuelve esta ecuación es 5.29, es decir, a lo largo del quinto año.

Answer 2

a) La cantidad de patos que compro el granjero es:

  22

b) La mayor población de patos y cuantos patos son:

   Para: t = ∞

  p = ∞

c) El tiempo que transcurre para que la población crezca a 184 patos es:

  5,59 años

d) En algún momento se extinguen, esto no ocurre, ya que la ecuación no toma valores negativos, el tiempo siempre es positivo.

¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

a) ¿Cuántos patos compro?

La cantidad de patos que compro se obtiene cuando t = 0;

p(0) = 2(0)² + 20(0) + 22

p(0) = 22

b) ¿Cuándo se da la mayor población de patos y cuantos patos son?

Aplicar primera derivada;

p'(t) =d/dt (2t² +20t+22)

p'(t) = 4t + 20

Aplicar segunda derivada;

p''(t) = d/dt (4t + 20)

p''(t) = 4  ⇒ Mínimo relativo

t = ∞

c) ¿Cuándo hay 184 patos?

Evaluar p(t) = 184;

184 = 2t² + 20t + 22

Igualar a cero;

2t² + 20t + 22 - 184 = 0

2t² + 20t - 162 = 0

Aplicar la resolvente;

$t_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{20^{2}-4(2)(-162)}}{2(2)}\\\\t_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{1696}}{4}\\\\t_{1,2}=\frac{-20\pm4\sqrt{106}}{4}$

t₁ = 5,59 años

t₂ = - 15.29

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