Question

Un funicular lleva pasajeros de un punto A, que está a 2 km de un punto B en la base de una montaña, a un punto P en la cima de la montaña. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21° y 65°, respectivamente.
a) Calcula la distancia entre A y P
b) Calcula la altura vertical de la montaña

Answer 1

a) La distancia entre A y P es de 2.61 kilómetros

b) La altura vertical de la montaña es de 0.93 kilómetros

Representamos la situación en un triángulo oblicuángulo ABP: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos puntos A y B donde desde el punto A parten los pasajeros para ascender en el funicular y donde el punto B se ubica en la base de la montaña; el lado AP (b) que equivale a la distancia desde el punto A donde las personas abordan el funicular para llegar hasta el punto P en la cima de la montaña

Donde conocemos que los ángulos de elevación hasta el punto P en la cima de la montaña, son desde el punto A (donde los pasajeros suben al funicular) y desde B (donde se ubica la base de la montaña) de 21° y de 65° respectivamente.

Por tanto el ángulo de elevación de 21° que va desde el punto A a P nos indica el ángulo de inclinación del ascenso para dirigirse a la cima de la montaña

Mientras que el ángulo de elevación de 65° nos señala la inclinación de la montaña desde el punto B hasta el punto P

Por ello se ha representado la montaña de la cual conocemos el ángulo de elevación junto al triángulo oblicuángulo

Para resolver este problema trabajaremos primero en el triángulo oblicuángulo ABP

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo ABP

Denotamos al ángulo dado por enunciado: A de 21° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 21^o }}$

Hallamos el valor del ángulo en B al cual denotamos como β

Donde dado que conocemos un ángulo de elevación de 65° desde B hasta P, el cual conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

Se tiene

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 65 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 115^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo P del triángulo oblicuángulo al cual denotamos como γ

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 21^o+ 115^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 21^o- 115^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 44 ^o }}$

a) Calculamos la distancia entre A y P (lado AP = b)

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(P)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(115 ^o ) } = \frac{ 2 \ km }{sen(44^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2 \ km \ . \ sen(115^o ) }{sen(44^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2\ km \ . \ 0.906307787037}{ 0.694658370459 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 1.812615574074 }{ 0.694658370459 }\ km}}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 2.61 \ km }}$

b) Calculamos la altura de la montaña

Si trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el plano de base de la montaña, tenemos un triángulo rectángulo, donde la altura PQ resulta ser el cateto opuesto al ángulo de 65°

Luego si hallamos empleando la ley del seno el lado BP (a) en el triángulo oblicuángulo habremos hallado la hipotenusa del triángulo rectángulo

Por lo tanto basta con hallar la distancia de la ladera de la montaña -hipotenusa del triángulo rectángulo- para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Hallamos la distancia PB  (a)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(P)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(21 ^o ) } = \frac{2 \ km }{sen(44^o ) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 2 \ km \ . \ sen(21^o ) }{sen(44^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 2\ km \ . \ 0.3583679495453}{ 0.694658370459 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 0.7167358990906 }{ 0.694658370459 }\ km}}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 1.03 \ km }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto para determinar la altura de la montaña

$\boxed { \bold { sen(65^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(65^o) = \frac{altura \ cima }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ cima= distancia \ a \ . \ sen(65^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ cima = 1.03\ km \ . \ sen(65^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ cima= 1.03\ km\ . \ 0.906307787037 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ cima= 0.93 \ km }}$

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas